Stammfunktion bilden: f(x) =1/cos^2(x)

Question

Suche eine Stammfunktion von       f(x) =   1 /  cos² (x)

 

wie gehe ich vor , habe schon substitution versucht dann komme ich jedoch auf ........

 

->    ∫    1 /   -2sin*cos      du      

 

 brauche hilfe

 

Danke

Answer 1

Bin prinzipiell gleicher Ansicht wie Johann. Das ist Formelsammlungwissen.

Wenn Du aber keine zur Hand hast, folgender von mir schon bei Legendär angeschnittener Weg:

$$\int \frac{1}{\cos(x)^2} dx = \int \frac{\sin(x)^2+\cos(x)^2}{\cos(x)^2} = \int 1 dx + \int\sin(x)\frac{\sin(x)}{cos(x)^2}dx$$

Partielle Integration, wobei f=sin(x) und damit f' = cos(x) dx

und g'(x) = sin(x)/cos(x)^2 dx und damit g = 1/cos(x)

$$\to x + \sin(x)\cdot\frac{1}{\cos(x)}-\int\frac{1}{\cos(x)}\cdot\cos(x)dx + c$$

$$= x+\frac{\sin(x)}{\cos(x)}-x+c = tan(x)+c$$

Grüße

P.S.: g ist leicht mit Substitution zu bestimmen ;).

Comments

du kannst wirklich alles , vielen dank :)

Answer 2

Das ist auch eine dieser elementaren Funktionen. Zumindest stehen die bei mir in der Formelsammlung auf dem Umschlagdeckel so dass man nicht lange blättern muss. Die schreibt man einfach hin. Naja, hängt halt auch davon ab was Du studierst. Ein Mathematiker würd mich jetzt wahrscheinlich schief anschaun.


∫ 1/cos^2(x) dx = tan(x) +c;

Answer 3

Du kennst doch sicher den trigonometrischen Pythagoras:

   $$\sin x \cdot \cos x = 1$$

Jetzt setzen wir das in $$\int\! \frac{1}{\cos^2 x}\,dx$$ ein:

$$\int\! \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x}\,dx = \int\! \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int\! \tan x \,dx$$ ...

Und schau jetzt mal in deine Formelsammlung... :) Alles klar?

gruß...

Comments

Ja, da steht: \( \int{ tan(ax) dx} = -\frac{1}{a}ln( cos(ax) )\).

Außerdem ist \(sin(x) \cdot cos(x)  = \frac{1}{2} sin(2x)\).

\({cos}^{2}(x) + {sin}^{2}(x) = 1\).

---

Zumindest der Gedanke mit Pythagoras ist richtig.

Wendet man diesen an kommt man letztlich auf die Form

$$\int dx + \int\sin(x)\cdot\frac{sin(x)}{cos(x)^2} dx$$

(Absichtlich so aufgeschrieben!)

Partielle Integration und man ist schnell bei tan(x)+c

Grüße