Pyramide (Volumen berechnen mit Vektoren)

Question

Die Punkte sind:

A ( 1 l 1 l 1) B ( 2 l 6 l 3) C (-1 l 7 l 2) D (-2 l 2 l 0) S (-3 l1 l 6)

Die Formel dafür wäre ja: v= G * h * 1/3

Mir fehlen G und h. An G komme ich über die Berechnung von vektor AB und Vektor AC und dann bestimme ich die Länge davon und nehme die beiden Ergebnisse mal.

Dafür habe ich die Länge 6,16 erhalten.

Für einen Vektor der senkrecht zu den anderen beiden ist habe ich das Kreuzprodukt bestimmt und die Probe übers Skalarprodukt gemacht, das ist der Vektor (-7 l - 5 l 16)

Das Problem ist, dass ich jetzt nicht wirklich weiß: wie bestimme ich die Höhe?

Muss eigentlich über einen Punkt P auf G sein. Mit dem Punkt dann Länge von Vektor PS bestimmen,und einsetzen.

Kann ich als diesen Punkt auf G den errechneten Vektor vom Kreuzprodukt nehmen`?

Danke schonmal

Answer 1

Grundsätzlich man kann Deinen Weg gehen.

Dazu müsstest Du eine Gerade von S Richtung n mit der Grundebene E schneiden, also das Lot von S auf E fällen F:

g: X = S + t n

E: n ( X - A) =0

-> n ( (S + t n) - A)=0 -> t = -18/55 ∈ g -> F=(-39/55,29/11,42/55)

h = sqrt((S-F)^2) ...

wenn ihr habt/dürft liese sich allerdings das Spatprodukt hernehmen

Vp = 1/3 n (S-A)

Comments

Nie gehört.

Reicht es nicht, wenn ich eine Ebenengleichung aufstelle oder so ähnlich? dann mit einer Geradengleichung gleichsetze und den Punkt dann für P nehme?

---

Nun, diesen Weg hab ich skizziert: X=(x,y,z) - die

Koordinatengleichung kann man auch als Skalarprodukt aus Normalenvektor n und einem Punkt A der Ebene E schreiben - wie auch immer, Du musst die x,y,z-Koordinaten der Geraden in die x,y,z- Koordinaten der Ebene einsetzen:

n1 x +n2 y + n3 z + a = n (X - A) = n X - n A = 0

---

Woraus stelle ich die Geradengleichung auf?

Und was mache ich mit dem Ergebnis? in die Formel einsetzen?

---

Das hab ich doch oben gesagt, was von

g: X = S + t* n

usw... verstehst Du nicht.

Schneiden heißt g in E einsetzen, Da Du den Normalenvektor n schon hast ist E als Koordinatengleichung schnell aufgestellt.

g:(x,y,z) = (-3,1,6) +t (-7,-5,16)

*E: (-7,-5,16) ((x,y,z)-(1,1,1))=0

**E: -7x -5y -16 z -4 =0

g entweder *E einsetzen und dann ausmultiplizieren oder erst ausmultiplizieren **E und jetzt g einsetzen.. weiter oben t= ausrechenen in g einsetzen und Lotpunkt F bestimmen, aus SF die Höhe ermitteln...

---

Danke für die ausführliche Erklärung.

Verstehe leider echt nicht, was du mit x,y,z, meinst?

---

Naja, wie heissen denn die Koordinatenachsen bei euch?

---

Auch x,y,z aber wieso nur das? hä^^'

Und wieso auch wieder in der Ebenengleichung? müsste man da nicht Koordinaten reinschreiben? oder hast du dass einfach anstatt 1 l1 l1 aus A geschrieben?

---

Oder was ist das X in den beiden Formeln, die du für Ebene- und Geradengleichung angegegben hast?

---

sorry, aber ich kann dir jetzt nicht folgen aber ich mach dir mal ein Bild vielleicht hilft das

---

Nein, aber danke. Ich meinte:

g: X = S + t n

E: n ( X - A) =0

Was meinst du hier jeweils mit "X"?

---

Auch das hab ich schon gesagt:

>Nun, diesen Weg hab ich skizziert: X=(x,y,z)

---

Und was ist xyz? ich kann da nicht xyz einsetzen.

---

Muss da nicht irgendein Punkt rein, der nicht auf der Ebene liegt?

---

Schreib die Gerade auf:

g:

Schreib die Ebene auf

E:

dann sehen wir weiter.

---

g: x= (-3 l 1 l 6) + t * (-7 l -5 l 16)

E: x= (-7 l -5 l 16) + s * (1 l 5 l 2) + u * (-3 l 1 l -1)

Habe in E die beiden Spanvektoren eingesetzt

---

Das kannst Du machen, Dein x entspricht übrigens dem allgemeinen Koordinatenvektor (x,y,z) ausführlich geschrieben.

Ist

1. Falsch, Dein Ortsvektor  ist der Normalenvektor - sollte sein einer der 4 Punkte der Grundebene.

2. Ungeschickt, weil du beim Gleichsetzen ein Gleichungsystem mit 3 Unbekannten lösen musst - würd ich nicht freiwillig machen wollen

3. Ich würde die Koordinatenebene nehmen, die bekommst Du billig - kopie von oben

*E: (-7,-5,16) ((x,y,z)-(1,1,1))=0

**E: -7x -5y -16 z -4 =0

Deine Gerade ausführlich geschrieben

g: (x,y,z) = (-3 l 1 l 6) + t * (-7 l -5 l 16)

kannst Du jetzt die koordinaten x (Rot) aus der Gerade in die Koordinatengleichung E einsetzen, mit y,z das gleiche. Dann hast Du eine Gleichung in t, die sich leicht lösen lässt. Ergebnisse oben...

---

Ach so, ok. Wo ist jetzt der Vektor falsch? oder bei beiden? (Ortsvektor, meine ich)

Da ich das später mit dem GTR mache, ist eigentlich egal ob es zwei oder drei Unbekannte sind.

---

ok, dann geb ich Dir mal die Zwischenergebnisse aus dem CAS

---

Verstehe ich immer noch nicht.

Ist der Ortsvektor der Geraden- oder der Ebenengleichung falsch? oder etwa bei beiden?

Answer 2

Hallo Lukasiva,

Die Grundfläche G erhältst du als Summe der Dreicksflächen  A_ΔABD und   A_ΔBCD

G = 1/2 · | ([2, 6, 3] - [1, 1, 1]) ⨯ ([-2, 2, 0] - [1, 1, 1]) |

                                + 1/2 · | ([2, 6, 3] - [-2, 2, 0]) ⨯ ([-1, 7, 2] - [-2, 2, 0]) |

    =  √330  [FE]

Deine Ebene hat den Normalenvektor  [ -7, - 5, 16 ]  mit  | [ -7, - 5, 16 ] |  = √330  und geht durch den Punkt A. 

Ihr Abstand von S - also die Pyramidenhöhe h - beträgt deshalb  

 h  =  1/√330 · | [-7, -5, 16] * [-3, 1, 6] - [-7, -5, 16] * [1, 1, 1] |  =  18·√330/55 [LE]

Das ergibt dann das Volumen

V = 1/3 * G * h = 1/3 * √330 * 18·√330/55 = 36  [VE]

Gruß Wolfgang