Question

Betrachten Sie die Abbildung B: R^3 -> R^3, welche die Vektoren v1 mit 2 multipliziert, v2 mit -1 und v3 festhält. Bestimmen Sie die Matrix von B bzgl. Standardbasis.

v1 = (1,3,0); v2= (3,2,1); v3=(3,1,1)

wie komme ich nochmal auf die Abbildungsmatrix? Ich hatte mir im ersten Versuch 9 Gleichungen zurecht gelegt:

(x1 x2 x3        (1            (2

y1 y2 y3     *    3     =     6

z1 z2 z3)         0)           0)

=> x1 + 3x2 = 2

 y1 + 3y2 = 6

z1 + 3z2 = 0

nach der Art, und das mit allen drei Vektoren, nur scheint mir das sehr umständlich!  Ich würde gerne Wissen, wie ich auf diese Abbildungsmatrix komme.

 

Answer 1

Ein bisschen Rechnerei ist durchaus erforderlich.

Man hat eine Matrix A, deren Spalten die gegebenen Vektoren sind. Nun sucht man eine Matrix B, sodass gilt:

A X B = C

wobei die Spalten von C die durch die Aufgabenstellung beschriebenen Bilder der Vektoren von A sein sollen
(1. Spalte von C = 2 * 1 .Spalte von A, 2. Spalte von C = - 1 * 2.Spalte von A, 3. Spalte von C = 3. Spalte von A)

Um nun B zu finden, muss man die Gleichung

A X B = C

von links mit der Inversen von A, also mit A^{- 1} multiplizieren:

A ^{- 1} x A x B = A ^{- 1} x C

<=> E x B = A ^{- 1} x C

<=> B = A ^{- 1} x C

(E ist die Einheitsmatrix)

Die gesuchte Matrix B ist also das Produkt aus der Inversen von A und der Ergebnismatrix C.

Die Inverse von A kann mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus berechnet werden - oder man verwendet einen Online-Matrizen-Rechner, z.B.: http://rechneronline.de/lineare-algebra/matrizen.php

Ergebnis:

B =

2  0 0
0 -1 0
0  0 1