Injektivität zeigen für: f : R^2 --> R^2 mit (x, y) --> (x - y), (3x + y)

Question

Moin!

Es soll Injektivität gezeigt werden für:

$$ f: {R}^{2} \rightarrow {R}^{2} mit (x, y) \rightarrow (x - y, 3x + y)$$

Ich komme im Beweis an einer Stelle nicht weiter.

Nach Definition von Injektivität gilt:

$$ {f(x}_{1}) = {f(x}_{2})  \Rightarrow  {x}_{1} = {x}_{2} $$

Ich wähle mir 2 beliebige Elemente aus dem Definitionsbereich:

Seien also (x1, y1) und (x2, y2) € R^2 beliebig, dann ist zu zeigen, dass

$$ {f((x}_{1}, {y}_{1})) = {f((x}_{2}, {y}_{2}))  \Rightarrow  ({x}_{1}, {y}_{1}) = ({x}_{2}, {y}_{2}) \Leftrightarrow ({x}_{1} = {x}_{2})   und   ({y}_{1} = {y}_{2})$$

Ich setze dann die Vorschriften aus der Abbildung ein, so dass ich habe:

$$ {f((x}_{1}, {y}_{1})) = {(x}_{1} - {y}_{1}, {3x}_{1} + {y}_{1})  \Rightarrow  f(({x}_{2}, {y}_{2}) = ({x}_{2} - {y}_{2}, {3x}_{2} + {y}_{2}) $$

Daraus folgt:

1. $$ {x}_{1} - {y}_{2} = {x}_{2} - {y}_{2}  $$

2. $$ {3x}_{1} + {y}_{1} = {3x}_{2} + {y}_{2} |:3 $$

$$ {x}_{1} + {y}_{1} = {x}_{2} + {y}_{2} $$

Wie mache ich jetzt hier weiter? Ich weiß nicht wie ich die Terme weiter verwursten kann/muss. Ich muss ja irgendwie zeigen, dann ich für 1. & 2. zeige, dass x1 = x2 und y1 = y2 ist oder?

Oder hab ich schon nen Fehler woanders gemacht?

Gruß, SM

Comments

Nach nochmaligem Überfliegen glaube ich, dass ich die Aufgabe sogar richtig gelöst habe...?

Nur bei 1. müsste ich x1 - y1 = x2 - y2 zu x + y1 = x2 + y2 machen.

Damit habe ich eigentlich meine Annahme bewiesen oder?

Answer 1

betrachte f(x1,y1)-f(x2,y2)=0

Das ergibt zwei Gleichungen:

(x1-x2)+(y1-y2)=0

3(x1-x2)+(y1-y2)=0

Subtrahiere von Gleichung 2 Gleichung 1, gibt

2(x1-x2)=0 ---> x1=x2

Setzt du dies in eine der beiden übrigen Gleichungen ein, so ergibt sich ebenso y1=y2 , also ist die Funktion injektiv.

Comments

"Setzt du dies in eine der beiden übrigen Gleichungen ein, so ergibt sich ebenso y1=y2 , also ist die Funktion injektiv."

Wie sähe das aus? 

z.B.: 

(x1-x2)+(y1-y2)=0  

=> (x1-x1)+(y1-y2)=0

=> y1 - y2 = 0    //umstellen

=> y1 = y2   

tadaaaa 

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Ja genauso :)