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Injektivität der Funktion als logische Formel
a) Die Injektivität einer Funktion bedeutet, dass jedes Element des Zielraums höchstens einmal als Bild angenommen wird. Das heißt, wenn zwei Elemente des Definitionsbereichs das gleiche Bild haben, dann müssen diese beiden Elemente identisch sein. Für die gegebene Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f((x, y)) = (x+y, x-y) \) kann die Injektivität mit den gegebenen Notationen wie folgt als logische Formel ausgedrückt werden:
\( \forall (x, y), (u, v) \in \mathbb{R}^{2}, (B \Rightarrow A) \)
Das bedeutet: Für alle Paare \( (x, y) \) und \( (u, v) \), wenn \( f(x, y) \neq f(u, v) \), dann folgt daraus, dass \( (x, y) \neq (u, v) \).
Indirekter Beweis der Injektivität
b) Um die Injektivität von \( f \) mittels eines indirekten Beweises zu zeigen, nehmen wir das Gegenteil der Behauptung an und zeigen, dass dies zu einem Widerspruch führt. Wenn \( f \) nicht injektiv wäre, dann gäbe es zwei unterschiedliche Paare \( (x, y) \) und \( (u, v) \), für die gilt \( f(x, y) = f(u, v) \), obwohl \( (x, y) \neq (u, v) \).
Angenommen, \( f(x, y) = f(u, v) \), dann gilt:
\( (x+y, x-y) = (u+v, u-v) \)
Daraus folgt, dass:
1. \( x+y = u+v \) und
2. \( x-y = u-v \).
Durch Addition der beiden Gleichungen erhält man:
\( 2x = 2u \)
Durch Division durch 2:
\( x = u \)
Durch Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten:
\( 2y = 2v \)
Und durch Division durch 2:
\( y = v \)
Da wir ursprünglich angenommen haben, dass \( (x, y) \) und \( (u, v) \) unterschiedlich sind, führt dies zu einem Widerspruch, weil aus unserer Annahme folgt, dass \( x = u \) und \( y = v \), was bedeutet, dass \( (x, y) = (u, v) \). Damit ist gezeigt, dass \( f \) injektiv ist.
Surjektivität von \( f \)
c) Um die Surjektivität von \( f \) zu zeigen, muss gezeigt werden, dass es für jedes Bild \( (a, b) \) im Zielraum \( \mathbb{R}^{2} \) mindestens ein Urbild \( (x, y) \) im Definitionsbereich gibt, sodass \( f(x, y) = (a, b) \).
Sei \( (a, b) \) ein beliebiges Element aus \( \mathbb{R}^{2} \). Wir müssen \( (x, y) \) finden, so dass:
\( f(x, y) = (a, b) \)
Das bedeutet:
\( (x+y, x-y) = (a, b) \)
Aus diesen Gleichungen erhalten wir:
1. \( x + y = a \)
2. \( x - y = b \)
Durch Addition der beiden Gleichungen:
\( 2x = a + b \)
Daraus folgt:
\( x = \frac{a + b}{2} \)
Und durch Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten:
\( 2y = a - b \)
Daraus folgt:
\( y = \frac{a - b}{2} \)
Mit \( x = \frac{a + b}{2} \) und \( y = \frac{a - b}{2} \) haben wir für jedes Bild \( (a, b) \) im Zielraum \( \mathbb{R}^{2} \) ein Urbild \( (x, y) \) im Definitionsbereich gefunden. Somit ist \( f \) surjektiv.
