Determinante mit allgemeinen x

Question

Wie berechn e ich die Determinante der folgenden matrix? Warum ist das unabhengig von x?

(sin(x),cos(x),x*sin(x))

(-cos(x),sin(x),-x^2*sin(x))

(0,0,1)

Answer 1

Eine Alternative zur Regel von Sarrus ist (hier) das Ausnutzen der Tatsache, dass in der letzten Zeile zwei Nullen und eine \(1\) stehen. Dadurch können wir die Determinante der gegebenen Matrix durch das Berechnen der Teilmatrix

$$\left(\begin{matrix}\sin(x)&\cos(x)\\-\cos(x)&\sin(x)\end{matrix}\right)$$

ermitteln:

$$\det\left(\begin{matrix}\sin(x)&\cos(x)&x\cdot \sin(x)\\-\cos(x)&\sin(x)&-x^2\cdot sin(x)\\0&0&1\end{matrix}\right)$$

$$=1\cdot \det\left(\begin{matrix}\sin(x)&\cos(x)\\-\cos(x)&\sin(x)\end{matrix}\right)$$

$$=\sin(x)\cdot \sin(x)-(-\cos(x)\cdot \cos(x))$$

$$=\underbrace{\sin(x)^2+\cos(x)^2}_{\text{Trigonometrischer Pythagoras}}$$

$$=1$$

Answer 2

wende z.B. die Regel von Sarrus an:

$$ det\begin{pmatrix} sin(x) & cos(x) & x*sin(x) \\ -cos(x) & sin(x) & -{ x }^{ 2 }sin(x) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$$$=sin(x)*sin(x)*1+0+0-0-0-cos(x)*(-cos(x))*1={ sin }^{ 2 }(x)+{ cos }^{ 2 }(x)=1 $$

Gruß

Comments

Da die letzte Zeile nur aus Nullen und einer \(1\) besteht, könnte man sich direkt auf die Determinante der Teilmatrix

$$\left(\begin{matrix}\sin(x)&\cos(x)\\-\cos(x)&\sin(x)\end{matrix}\right)$$beschränken.