(1+i)k+(1-i)k
k=1
Zeichne die Zeiger 1+i und 1-i in der komplexen Zahlenebene ein. (Argumente + und - π/4 = 45° und Beträge √(1+1) = √2.
Sie sind symmetrisch zur reellen Achse.
Bei der Addition (wie Vektoraddition mit Parallelogrammregel) entfällt der imaginäre Anteil. Es resultiert eine positive reelle Zahl.
1+i + 1 - i = 2.
k=2
Nun kommen die geometrischen Eigenschaften der Multiplikation (Argumente addieren und Beträge multiplizieren) ins Spiel:
(1+i)^2 = (1+i)(1+i) hat Argument 90° und Betrag 2.
(1-i)^2 hat Argument -90° und Betrag 2.
Insgesamt ergibt sich 0.
(1+i)^2+(1-i)^2 = 0
k=3
(1+i)^3 Argument 135° Betrag 2*√(2)
(1-i)^3 Argument -135° Betrag 2*√(2)
Es ergibt sich durch vektorielle Addition
(1+i)^3+(1-i)^3 = - 4
k=4
(1+i)^4 Argument 180°, Betrag 4
(1-i)4 Argument -80°, Betrag 4
(1+i)^4+(1-i)^4 = - 8
k=5
(1+i)^5 Argument -135°, Betrag 4*√2
+(1-i)^5 Argument 135°, Betrag 4*√2
(1+i)^5+(1-i)^5 = - 8
k=6
(1+i)^6+(1-i)^6 = 0
usw,
Ich hoffe, ich habe mich nun nicht verrechnet.
Du kannst eine Fallunterscheidung mit 4 Fällen machen:
k=0, k=1, k=2, k=3 modulo 4.
So haben die Resultate immer wieder dieselben Argumente und du brauchst dich nur noch um die Beträge zu kümmern und die in Abhängigkeit von k auszudrücken.
