Im wesentlichen geht es ja um folgendes Integral:
$$\int_{0}^{R}e^{-r^3}r^2dr\\ $$
Die anderen Faktoren kannst du vor das r Integral rausziehen, da sie dort konstant sind. Zur Substitution gehören folgende Schritte:
1) Suche dir einen Term den du durch Substitution vereinfacht darstellen möchtest, hast du schon gemacht : -r^3=q
2)Transformiere das Differential: wenn du über die neue Variable q integrieren möchtest, so brauchst im Integral anstelle von dr irgendwas mit dq. Um dq zu erhalten leitet man die Subtstitutionsvorschrift ab:
$$ \int_{0}^{R}e^{-r^3}r^2dr\\ -r^3=q\\\frac{dq}{dr}=-3r^2\\-\frac{dq}{3r^2}=dr $$
3) Die Grenzen sind entsprechend der Substitutionsvorschrift zu transformieren:
r beginnt bei 0, -0^3=q1 also startet q auch bei 0.
r endet bei R , also ist -R^3=q2 , die neue obere Grenze lautet -R^3
4) Setze alles in das Integral ein :$$ \int_{0}^{R}e^{-r^3}r^2dr\\= -\int_{0}^{-R^3}e^{q}r^2\frac{dq}{3r^2}\\= -\frac{1}{3}\int_{0}^{-R^3}e^{q}dq=-\frac{1}{3}[e^{-R^3}-1]$$
