Volumenberechnung mit Dreifachintegral

Question

Folgende Aufgabe:

Gegeben sind die Mengen 

$$ M_1=((x,y,z) \in R^3||x|+|y-1|\leq 2, 0 \leq z \leq 2 ) \\ M_2=((x,y,z) \in R^3|x^2+y^2\leq 16, 0 \leq z \leq 2 ) $$

Ich möchte nun das Volumen der Menge M berechnen, wobei M gleich der Menge M2 ohne M1 ist.

Mein Ansatz bisher ist, dass für M gilt:

$$ M=((x,y,z) \in R^3|x^2+y^2\leq 16, |x|+|y-1|> 2, 0 \leq z \leq 2 ) $$

Nun soll ich das ganze mit Hilfe EINES Dreifachintegrals berechnen. Dazu muss ich ja nun meine Grenzen für x, für y und für z bestimmen. 

Die Beträge bereiten mir aber Probleme. Ich habe nun für die Beträge Fallunterscheidungen gemacht. Allerdings komme ich nicht darauf wie ich diese dann zu einer oberen und einer unteren Grenze zusammenfassen kann, da in der "Mitte" meiner Menge ja ein "Loch" ist. 

Ich hoffe mir kann wer dabei helfen :) 

Comments

Es ist immer das Gleiche: Fange mit einer Skizze an. Da \(z\in[0,2]\) reicht es, die Schnitte von \(M_1\) und \(M_2\) mit der \(xy\)-Ebene zu zeichnen. Beachte dazu, dass \(|x|+|y|\) eine Norm ist. \(|x|+|y|\le2\) ist ein "Kreis" um den Ursprung mit Radius \(2\) bezueglich dieser Norm und \(|x|+|y-1|\le2\) ist dann dieser "Kreis" mit Mittelpunkt \((0,1)\).

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Ich habe bereits eine Skizze gemacht.

Allerdings ist |x|+|y| ein Viereck und kein Kreis. Wenn ich aber dieses Viereck nun in den Punkt (0,0) verschiebe, dann kann ich ja die Symmetrie ausnutzen und es so vielleicht berechnen. Ich probiere dies gerade

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Hier einmal die genaue Aufgabenstellung:

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In meinem Kommentar steht "Kreis" und nicht Kreis. Ausserdem ein Verweis auf die 1-Norm.

Wenn Du die Skizze gemacht hast, dann siehst Du ja wohl, dass M₂ \ M₁ kein Normalbereich ist. Das Volumen kann man deshalb auch nicht mit einem Dreifachintegral mit Grenzen angeben.

Formal kann man allerdings $$|M|=\int\!\!\int\!\!\int\pmb{1}_M\,dx\,dy\,dz$$ hinschreiben. Zum Ausrechnen kannst Du z.B. \(\pmb{1}_M=\pmb{1}_{M_2}-\pmb{1}_{M_1}\) verwenden. Das sind dann aber zwei Dreifachintegrale und es kommt \(|M|=|M_2|-|M_1|\) raus, was sowieso klar ist.

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Ach so meinst du das mit "Kreis" :)

Ja genau, habe mich auch die ganze Zeit gefragt wie man das mit einem Dreifachintegral lösen soll. Dachte aber das es irgendwie möglich ist, das es ja so in der Aufgabenstellung steht.