Doppelte Eigenwerte & Diagonalisierbarkeit

Question

Ich habe mich für die Klausur mit Eigenwerte/Eigenvektoren befasst, aber stehe im Moment vor einem großen Problem: (Die Aufgabe ist im Anhang, das ganze ist im 5er Restkörperraum).

Zunächst habe ich die Standardbasen eingesetzt und mithilfe der Formel A*x = Skalar * x die Matrix aufgestellt. Von dieser habe ich nun die Determinante mithilfe des Laplace-Entwicklungssatz nach der 1. Zeile/Spalte berechnet und bin auf: 4x^3 + 3x^2 gekommen.

Eigenwertberechnung

4x^3 + 3x^2 = 0

(4x + 3)*x^2 = 0

Satz des Nullproduktes: x^2 = 0;

 x1,2 = √0

4x+3 = 0

4x = -3 Ι :4

x = -0,75 = 4,25

So hier kommen nun leider auch doppelte Eigenvektoren raus:

v1,v2 = (0,1,1)

v3 = (1,4,3)

Da die b) jedoch verlangt die Inverse von S (also der Eigenvektorenmatrix) zu bilden, muss hier was schief gelaufen sein. Ich nehme an bei der Nullstellensuche. Meine Idee wäre, da im 5er Restkörperraum 0 = 5 ist, dass als NS x1=5 und NS x2=-5 rauskommt. Bitte um Hilfe !

Comments

x_1,2 = 0 ist richtig (vorausgesetzt, das char. Pol. stimmt). x = 4,25 ∉ ℤ₅ kann kein EW sein. Besser:
4x + 3 = 0 | +2
      4x = 2 | ·4
        x = 3.
Es ist nicht notwendig, die Inverse von S explizit zu berechnen.

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danke für die Antwort. Aber wie gehe ich hier jetzt mit dem doppelten EW vor? Denn diagonalisierbar ist S ja nicht sofern es zwei identische EV gibt

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Wenn der Eigenraum zum EW 0 zweidimensional ist, dann ist die Abbildungsmatrix A diagonalisierbar, d.h. es existiert eine nichtsinguläre Matrix S mit der gewünschten Eigenschaft.

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Kannst du mir bitte zu dem Fall ein Beispiel geben?

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Zu lösen ist das LGS (A - 0·E)v = 0, also \(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&3&2\\3&1&4\end{pmatrix}v=0\).
Elementare Zeilenumformungen liefern \(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}v=0\).

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Achso das meinst du. Jedoch ist die Matrix ja 1 dimensional oder sehe ich das falsch?

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Du meinst, der Rang ist 1. Der Lösungsraum ist zweidimensional. Eine Basis wäre z.B. \(\left\{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\right\}\).

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Ok ich verstehe. Einmal muss ich dich noch nerven :) ich verstehe jetzt dennoch nicht wie man bei der b) S o A o S^{-1} berechnen soll? S ist ja die Eigenvektormatrix und die ist ja dennoch mit 2 gleichen Eigenvektoren gefüllt. Die Inverse davon kann man ja nicht bilden

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Das gleiche machst du nun mit dem EW 3, d.h. bestimme eine Basis des LGS (A - 3·E)v = 0.

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Achsoo d.h. wenn ich hier die Basisvektoren nun habe, fasse ich die Basisvektoren von EW 0 und EW 3 zusammen als neue Matrix ? Und daraus dann die Inverse?

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Die drei Basisvektoren bilden eine Matrix S mit der gewünschten Eigenschaft. Es gilt dann \(S^{-1}\circ A\circ S=D\), wobei \(D\) eine Diagonalmatrix mit den EWs auf der Diagonalen ist.

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Ok d.h. der Eigenraum von x=3 muss also eine Dimension von 1 vorweisen. Vielen Dank du hast super geholfen!