Aussagen zum Thema Diagonalisierbarkeit/Eigenwerte/Vielfachheit

Question

wäre sehr nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

a) Ja, wenn der Eigenwert mit algVFH=2 die geoVFH=2 besitzt, sonst nicht.
b) Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht so wirklich.
c) Nein, denn es kommt darauf anf, dass algVFH=geoVFH ist und dies durch diese Aussage nicht vorhanden sein muss.
d) Würde jetzt einfach mal spontan 0 sagen..bin der Meinung, dass wir darüber im Unterricht schonmal geredet haben, jedoch fällts mir nicht ein.

Answer 1

Hi,
zu (a) Nein, siehe https://www.mathelounge.de/251785/beweis-diagonalisierbarkeit-fur-matrix-mit-variable#a251800 für \( \alpha = 3 \)

zu (b) Die Diagonalmatrix muss die Nullmatrix sein. Daraus folgt \( A = TDT^{-1} = 0 \) Also ist auch \( A \) die Nullmatrix

zu (d) Die Eigenwerte berechnen sich aus $$ \det(A - \lambda I) = 0  $$ Da \( \det(A) = 0 \) gilt, folgt \( \lambda = 0 \) ist ein Eigenwert.

Comments

das verlinkte zur a) ist kein Gegnbsp. die geom. Vielfachheit ist nicht 2.

Answer 2

a) gilt, der Fall "sonst nicht" kann nicht eintreten.

b) Die Diagonalform von A ist gegeben und damit lässt sich A berechnen. Das Ergebnis ist wenig überraschend.

c) Nein, weil das Pol. u.U. nicht zerfällt. Die geom. und alg. VFH sind hier jedoch immer identisch.

Es gilt immer geom. VFH ist kleiner oder gleich der geom. VGH.

Comments

Aber kannst du mir erklären, warum das bei a) nicht eintreten kann?