Ableitung von Beträgen von x

Question

Was ist die Ableitung von f(x) = x * |x|  ?

Answer 1

f(x) = |x| = √(x^2)

f'(x) = 2·x · 1/(2·√(x^2)) = 2·x · 1/(2·|x|) = x/|x| = SGN(x)

g(x) = x·|x|

g'(x) = 1·|x| + x·x/|x| = |x| + |x| = 2·|x|

Comments

2·x · 1/(2·√(x²))  ist für x=0 nicht definiert, sgn(x) schon.

All deine Berechnungen sind nur unter der Bedingung  x≠0  zulässig.

Das gilt auch für die Anwendung der Produkt- und der Kettenregel.

Ohne eine besondere Betrachtung von x=0 geht es m.E. nicht!

(vgl.meine Antwort)

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Das sehe ich exakt so wie du.

f'(x) = x/|x| sagt ja eigentlich schon, dass es für x = 0 nicht definiert ist. Daher muss man das ausschließen.

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Ausschließen reicht nicht, weil  f  in x=0 tatsächlich differenzierbar ist.

Answer 2

Produktregel anwenden und fertig:)

u' * v + u* v'

Comments

So einfach ist das nicht, weil die f(x) = |x|  in x=0 nicht differenzierbar ist.

Für die Produktregel müssen u und v aber differenzierbar sein.

Answer 3

Hallo Biostudent,

f(x) = (   x²  für x ≥ 0

         (  -x²  für x< 0

f '(x) = (  2x  für x > 0

           ( -2x  für x < 0

differenzierbar an Nahtstelle x = 0  ?

Wegen lim_x→0+ x²  =   lim_x→0-  -x²  = 0 = lim_x→0 f(x)  = f(0)   ist  f in x=0 stetig

→

Wegen lim_x→0+ f '(x) = lim_x→0- f '(x) = 0  ist f auch in 0 differenzierbar:

             (  2x  für x ≥ 0

f '(x) =  (                             =  |2x|   

             ( -2x  für x < 0

Gruß Wolfgang