Hallo, und zwar wollte ich fragen wie es mit der (-1) ist bei der Quotientenregel oder allgemein bei Beträgen bei der Aufgabe i) (Lösung unten dabei). Kann ich das Minus einfach so zu Plus umwandeln und dann die Beträge auflösen oder wie wurde es hier gemacht, und wenn ja kann man bei Beträgen das Minus dann einfach immer weglassen? Und noch eine Frage zu x=0 ist doch die ganze Reihe =0 und das konvergiert weil es konstant bei der 0 bleibt ? Oder wie kann ich es verstehen.
Text erkannt:
\( C(x):=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n} \)
Zeigen Sie:
(i) \( C(x) \) ist absolut konvergent für alle \( x \in \mathbb{R} \).
2
(ii) Für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt
\( 2 C(x)^{2}=C(2 x)+1 \)
Hinweis: Das Cauchy-Produkt und die (bei Benutzung zu beweisende) Identität
\( \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} 2 n \\ 2 k \end{array}\right)=2^{2 n-1} \)
für \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq 1 \) können nützlich sein.
Lösung. (i) Für \( x=0 \) ist die Konvergenz klar, sei also \( x \neq 0 \). Für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) ist
\( \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{|x|^{2 n+2}(2 n) !}{|x|^{2 n}(2 n+2) !}=|x|^{2} \frac{1}{(2 n+1)(2 n+2)} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0, \)
also konvergiert die Reihe \( C(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) absolut nach dem Quotientenkriterium.
