Hallo MatheStudi2,
ja, das gilt. Der Beweis läuft im Wesentlichen auf die Beobachtung $$|L(x)-0|=||L(x)|-0|$$ für alle \(x\in D\) hinaus.
Bist du an einem detaillierten Beweis interessiert oder genügt dir dieser Hinweis? Um den Beweis passend zu euren Definitionen formulieren zu können, bräuchte ich ggf. die Info, wie ihr die Aussage $$\lim_{x\to x_0}L(x)=0$$ genau definiert habt (da sind unterschiedliche Definitions-Varianten im Umlauf).
Viele Grüße
Tobias