Komplexe Zahlenfolgen: Beweise zu Konvergenz von Folge und deren Beträgen, Nullfolge

Question

Sei (z_n)_neine Folge in ℂ. Zeigen Sie:
a) Konvergiert (z_n)_n gegen z ∈ ℂ ,so konvergiert die Folge (|z_n|)n gegen |z|.
b) (z_n) ist genau dann eine Nullfolge, wenn (|z_n|)_n eine Nullfolge ist.
c) Ist (z_n)_n beschränkt und (w_n )_n eine Nullfolge, so ist auch (z_n w_n  )_n eine Nullfolge.

Answer 1

Teil b) ist besonders billig. Einfach die Definitionen hinschreiben und merken, dass beide Male das Gleiche dasteht:

$$z_n\to0\quad\,\,\,\Longleftrightarrow\quad\text{$|z_n-0|<\varepsilon\,\,\,\,\,\,$ für jedes $\varepsilon>0$ und fast alle $n$},$$ $$|z_n|\to0\quad\Longleftrightarrow\quad\text{$\bigl||z_n|-0\bigr|<\varepsilon\,\,\,$ für jedes $\varepsilon>0$ und fast alle $n$}.$$

Es ist \(|z_n-0|=|z_n|=\bigl||z_n|-0\bigr|\).