Folgen. a zeigt, dass jede konvergente Folge genau einen Grenzwert hat. Wieso muss |a_n -a| <|a-b|/2 sein? usw.

Question

beweise Erklärung folgen

ich versuche gerade diese Beweise nachzuvollziehen und hab da noch paar Fragen.

Die a zeigt, dass jede konvergente Folge genau einen Grenzwert hat.

Die b zeigt, dass jede konvergente Folge beschränkt ist, d.h. ∃C>0∀n∈ℕ:|a_n|<C.

Meine fragen:

Zu a:

1. wieso muss |a_n -a| <|a-b|/2 sein und ebenso für das b?

2.Und wieso klappt die letzte Abschätzung <|a-b|. Also wieso verschwindet das a_n?

Zu b:

1. wieso muss |a_n -a|<1 sein?

Answer 1

Du kannst die ε-Umgebung doch belieblig definieren.

Im ersten Fall ist ε = |a - b| / 2 und im zweiten Fall ist ε = 1

|a - an| < |a - b|/2

|b - bn| = |bn - b| < |a - b|/2

Addiere beide Seiten und du erhältst

|a - an| + |bn - b| < |a - b|

Lagt dir das schon so fürs Verständnis?

Answer 2

> wieso muss |a_n -a| <|a-b|/2

Definition Konvergenz einer Folge:

(a_n)_n∈ℕ konvergiert genau dann gegen a, wenn es zu jedem ε>0 ein N∈ℕ gibt, so dass |a_n - a| < ε für alle n > N ist.

Es ist |a-b|/2 > 0, also kann ε = |a-b|/2 gewählt werden. Laut Definition Konvergenz einer Folge existiert dann ein N∈ℕ, so dass für alle n > N etc.

> Und wieso klappt die letzte Abschätzung <|a-b|

|a_n - a| < |a-b|/2 steht eine Zeile darüber

|a_n - b| < |a-b|/2 steht ebenfalls eine Zeile darüber.

Addiert man diese zwei Ungleichungen, dann bekommt man

|a_n - a| + |a_n - b| < |a-b|/2 + |a-b|/2 = |a-b|.

Answer 3

Hallo Sonnenblume,

a)

 > 1. wieso muss |a_n -a| < |a-b|/2 sein und ebenso für das b?

wegen  lim_n→∞  a_n  = a   gilt für jedes  ε ∈ ℝ⁺  | a_n - a | < ε  , wenn n groß genug ist 

        hier  ε = |a-b| / 2          (für  | a_n - b| analog)  

> 2. wieso klappt die letzte Abschätzung < |a-b|. Also wieso verschwindet das a_n?

folgt direkt aus 1):

| a - a_n |  +  | b - a_n |   ≤  | a - b | /2  +  | a - b | /2   =  | a - b |

(Nachtrag: das klappt natürlich nur, weil die Annahme, es gäbe zwei verschiedene Grenzwerte falsch ist) 

b)

>  wieso muss |a_n - a| < 1 sein 

genauso wie 1a)  mit  ε = 1  

Gruß Wolfgang

Answer 4

Hi, Sonnenblume123! :-)

"Zu a: wieso muss |a_n -a| < |a-b|/2 sein und ebenso für das b?"
"Zu b: wieso muss |a_n -a| < 1 sein?"

Es wurde ε = |a-b|/2 und ε = 1 gewählt, denn die Definition der Konvergenz einer reellen Folge ist ja:

Eine Folge (a_n) reeller Zahlen konvergiert gegen a ∈ IR, wenn es zu jeder positiven Zahl ε ∈ IR einen Index n_0 gibt, sodass für alle Indizes n ∈ IR > n_0 immer |a_n − a| < ε ist.


"Und wieso klappt die letzte Abschätzung <|a-b|"

Die Abschätzung klappt eben nicht, wegen |a-b| < |a-b| Das sieht man btw. auch am Blitz, der dort eingeschlägt! :-)
Das ist ein Beweis durch Widerspruch und aus dem Widerspruch |a-b| < |a-b| folgt doch gerade, dass jede konvergente Folge genau einen Grenzwert hat.

Beste Grüße
gorgar

Comments

@Gorgar

> Die Abschätzung klappt eben nicht

Die Abschätzung klappt sehr wohl, weil die Annahme falsch ist. 

Aber dies führt eben zu einem Widerspruch, weil die Annahme falsch ist. 

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Hallo Wolfgang, wir haben wohl verschiedene Definitionen von "klappt".
Hier klappt jetzt die Tür vom Schlafzimmer zu.

Gute Nacht und beste Grüße
gorgar

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Hallo Gorgar,

> .Und wieso klappt die letzte Abschätzung <|a-b|. Also wieso verschwindet das a_n?

Die Definition bzgl. "klappt" ergibt sich allein aus dieser Fragegestellung und hat mit dir und mir absolut nichts zu tun! Und diese ist so eindeutig, dass sich jede weitere Diskussion darüber erübrigt.

Wünsche dir eine gute Nacht.

Gruß Wolfgang