Die Folge mit an=0 für alle n ∈ ℕ erfüllt die Bedingung
$$ \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n}|}< {\infty}$$
weil dann die Summe gleich 0 ist, also ist diese
Folge ein Element von F3 , und sie ist offenbar auch das
neutrale El. der Addition.
Da für alle x ∈ ℝ auch |x| = | -x | gilt, ist mit jeder Folge
an ∈ F3 auch ihr negatives in F3 ; denn es ist
$$ \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n}|}= \sum_{n=0}^{\infty}{|{ -a}_{ n}|}$$
also ist mit der Endlichkeit der ersten Summe auch die zweite endlich.
Bleibt zu zeigen: Abgeschlossenheit gegenüber S-Multiplikation
und Addition.
1. Sei also ( an ) n∈ℕ ∈ F3 und x ∈ ℝ , dann gilt
x * ( an ) n∈ℕ ist die Folge mit den den Folgengliedern x*an
und es gilt $$ \sum_{n=0}^{\infty}{|x*{ a}_{ n}|}= \sum_{n=0}^{\infty}{|x||{ a}_{ n}|}= |x|*\sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n}|}$$
also ist mit $$ \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n}|}< {\infty} $$ auch $$ \sum_{n=0}^{\infty}{|x*{ a}_{ n}|} < {\infty} . $$
2. Seien ( an ) n∈ℕ ∈ F3 und ( bn ) n∈ℕ ∈ F3
dann ist die Summe der Folgen die Folge mit den Gliedern
an + bn und um zu zeigen, dass diese Folge in F3 liegt , muss geprüft werden
$$ \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n} + { b}_{ n}|}< {\infty} $$
wegen der Dreiecksungleichung gilt | an + bn | ≤ |an| + | bn | , also auch
$$ \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n} + { b}_{ n}|} ≤ \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n}|} + \sum_{n=0}^{\infty}{| { b}_{ n}|}< {\infty} $$
und damit ist alles bewiesen.
