Wie untersucht man auf einen Unter-Vektorraum? Folgen. Divergent, Limes 0, absolut konvergente Reihe,

Question

Ich komme bei diesen Aufgaben einfach auf keinen grünen Zweig... kann mir jemand zeigen wie man auf die jew. Lösung kommt?? Bzw. wie man untersucht ob es ein Unterraum ist..

:)

Comments

HM2 beim Pöschel ... nich

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Mein Name ist Hase ich weiß von nichts;)

Answer 1

Unterraum:  U muss gegenüber den beiden Operationen abgeschlossen sein

und den 0-Vektor enthalten und zu jedem Vektor auch sein Negativ.

i) ist nicht abgeschlossen bzgl. Addition, denn die Summe

zweier divergenter Folgen muss nicht divergent sein.

Betrachte  (-1)ⁿ und  - ( -1)ⁿ .

ii) wenn a_n² eine Nullfolge ist, dann ist a_n auch eine.  Also ist das der

Unterraum der Nullfolgen.   Summe zweier Nullfolgen ist eine und

wenn man alle Glieder eine Nullfolge mit dem gleichen x aus IR

multipliziert, hat man wieder eine.

Und das neutrale Element ist die konstante Folge mit allen

Folgengliedern 0 und die Inverse zu der Folge mit den Gliedern  a_n

ist die mit den Gliedern   -a_n .

Comments

Kann ich dann bei der iii) sagen da F ein ℝ-Vektorraum ist und da es der Betrag von a_n ist, und da die Summe erst bei 1 beginnt, der Vektorraum also nicht die leere Menge sein kann? Oder wie mache ich da die 3 Kriterien für unterräume?

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Bei iii) ist die Menge sicher nicht leer, da z.B. die Folge, die aus lauter 0en

besteht dazugehört.

und:  weil an und -an den gleichen Betrag ( und nur auf die Beträge kommt es ja hier

an) haben, ist zu jedem auch das inverse mit in F3.
 
und wenn bei zwei  Folgen die Summe der |an|  endlich ist, dann ist es bei der

Summe der Folgen auch so.

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Wie kann man das mathematisch korrekt formulieren?

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Die Folge mit a_n=0 für alle n ∈ ℕ erfüllt die Bedingung

$$  \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n}|}< {\infty}$$

weil dann die Summe gleich 0 ist, also ist diese


Folge ein Element von F₃ , und sie ist offenbar auch das


neutrale El. der Addition.


Da für alle x ∈ ℝ  auch |x| = | -x | gilt, ist mit jeder Folge


a_n  ∈ F₃ auch ihr negatives  in F₃ ;  denn es ist

$$  \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n}|}= \sum_{n=0}^{\infty}{|{ -a}_{ n}|}$$

also ist mit der Endlichkeit der ersten Summe auch die zweite endlich.

Bleibt zu zeigen:   Abgeschlossenheit gegenüber S-Multiplikation

und Addition.

1. Sei also ( a_n ) _n∈ℕ  ∈ F₃ und   x ∈ ℝ , dann gilt

x * ( a_n ) _n∈ℕ   ist die Folge mit den den Folgengliedern x*a_n

und  es gilt $$  \sum_{n=0}^{\infty}{|x*{ a}_{ n}|}= \sum_{n=0}^{\infty}{|x||{ a}_{ n}|}= |x|*\sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n}|}$$

also ist mit $$  \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n}|}< {\infty} $$ auch $$  \sum_{n=0}^{\infty}{|x*{ a}_{ n}|} < {\infty} . $$

2. Seien  ( a_n ) _n∈ℕ  ∈ F₃ und    ( b_n ) _n∈ℕ  ∈ F₃

dann ist die Summe der Folgen die Folge mit den Gliedern

a_n + b_n  und um zu zeigen, dass diese Folge in F₃ liegt , muss geprüft werden

$$  \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n} + { b}_{ n}|}< {\infty} $$


wegen der Dreiecksungleichung gilt | a_n + b_n | ≤ |a_n| + | b_n |  , also auch

$$  \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n} + { b}_{ n}|}  ≤  \sum_{n=0}^{\infty}{|{ a}_{ n}|} +   \sum_{n=0}^{\infty}{| { b}_{ n}|}< {\infty} $$

und damit ist alles bewiesen.