Beweisen, dass folge a_n konvergent ist, wenn gilt dass |a_n+1 - a_n| < 2^-n.

Question

Ich soll beweisen, dass wenn gilt dass |a_n+1 - a_n| < 2^-n  die folge a_n konvergent ist. Wie geh ich das nun an? Entweder im direkten Beweis in dem ich diese Ungleichung annehme und davon aus irgendwie folgere das a_n konvergent ist, aber wie?

Answer 1

Hi,

es gilt

$$ | a_n - a_m | = \left|  \sum_{k=m}^{n-1}  ( a_{k+1} - a_k ) \right| \le \sum_{k=m}^{n-1}  \left( \frac{1}{2} \right)^k \le \left( \frac{1}{2} \right)^{m-1} < \epsilon $$ für jedes \( \epsilon > 0 \) wenn man o.B.d.A voraussetzt, dass \( n> m\) gilt und \( m > N \in \mathbb{N} \) gilt.

Damit ist die Folge eine Cauchyfolge und folglich konvergent.