Unlösbarkeit eines LGS. Sicher, dass das LGS immer noch lösbar, wenn…?

Question

Gegeben ist ein inhomogenes LGS mit 9 Gleichungen und 6 Unbekannten.

Als Lösung bekommt man heraus, dass 3 Variablen frei gewählt werden können.

Kann ich mir sicher sein, dass das LGS immer noch lösbar ist, wenn ich die rechte Seite verändere? warum?

Comments

Kann ich mir sicher sein, dass das LGS immer noch lösbar ist, wenn ich die rechte Seite verändere?

Die rechte Seite von was? Des kompletten LGS, also die 9 rechten Seiten?

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Die rechte seite von allen gleichungen

Answer 1

Das LGS hat 6 linear abhängige Gleichungen, die beim Umformen der erweiterten Koeffizientenmatrix in die Treppennormalform zu Nullzeilen werden. Nach dem Streichen der Nullzeilen bleiben 3 Gleichungen übrig und es können 3 Variablen frei gewählt werden.

$$ \left(  \begin{matrix}    1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 1 & a_{3,4} & a_{3,5} & a_{3,6} \\    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0  \end{matrix}\left|  \begin{matrix}    b_1\\ b_2\\ b_3 \\ 0\\ 0 \\ 0\\ 0\\ 0\\ 0  \end{matrix}\right)\right. $$
Die rechte Seite des LGS lässt sich so ändern, dass das LGS mehr linear unabhängige Gleichungen als Unbekannte hat. Die Treppennormalform der erweiterten Koeffizentenmatrix hat dann die Form
$$ \left(  \begin{matrix}    1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0  \end{matrix}\left|  \begin{matrix}    b_1\\ b_2\\ b_3 \\ b_4\\ b_5 \\ b_6\\ b_7\\ b_8\\ b_9  \end{matrix}\right)\right. $$
wobei mindestens eine der Konstanten \(b_7 \) bis \(b_9 \) ungleich Null ist, d.h. \(b_i \neq 0\) mit \( 7 \leq i \leq 9 \).
Dann ist der Rang der Koeffizientenmatrix nicht gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix und das LGS ist unlösbar. Eine unkontrollierte Manipulation der rechten Seite kann zufällig zur Unlösbarkeit des LGS führen. Guckst du auch https://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem#Bestimmung_.C3.BCber_die_erweiterte_Koeffizientenmatrix

Grüße

Comments

Danke groggy :-)

Super Antwort! Du hast das Problem verstanden.

Answer 2

Nein, wenn du die rechte Seite so änderst, dass dort ein Vektor steht, der

zusammen mit den anderen 6 Spalten lin. unabh. ist (Und sowas gibt es immer.)

dann ist das Gl. syst. nicht lösbar.

Comments

Gibt es dann nicht 1fach unendlich viele lösungen?

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Das hängt von der rechten Seite ab.

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Ja, nämlich wenn die linear abhängig sind.

Kannst Du mal ein beispiel bringen, was du meinst?

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Den Stern gibt es nur für ein passendes Beispiel.

Answer 3

Viel Spaß beim Lösen dieser LGS:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d\\e\\f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d\\e\\f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\\5\\6\\7\\8\\9\end{pmatrix} $$