Wie bestimmt man die Koordinaten eines Vektors in einer anderen Basis? LGS nicht lösbar

Question

Aufgabe:

Wie kann man die Koordinaten eines Vektors der in Basis 1 gegeben ist, in der Basis 2 darstellen?

1. Basis 1: \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Basis 2: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \)

Gegebener Vektor: \( \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} \)

2. Basis 1: \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Basis 2: \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} \)

Gegebener Vektor: \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Das hier sind jetzt nur zwei Teilaufgaben aus einer längeren Aufgabe. Ich glaube, wenn mir jemand das Vorgehen erklärt, verstehe ich was man zu tun hat. Ich habe ähnliche Fragen gesehen und dann versucht, für 1. das LGS

a*(1,0)+b*(2,-1)+c*(0,-1)=(1,-1)

zu lösen, allerdings bin ich da auf keine Lösung gekommen und weiß nicht, wie ich sonst weitermachen soll. Es wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Answer 1

f((1, 0)) = (1, 2, 0)

f((0, 1)) = (0, -1, -1)

f((1, -1)) = f((1, 0) - (0, 1)) = f((1, 0)) - f((0, 1)) = (1, 3, 1)

Comments

Danke, jetzt konnte ich alle Aufgaben lösen.

Answer 2

Je 2 Basen haben immer gleichviele Elemente.

Das können also nicht alles Basen sein.

Du kannst aber natürlich (1,-1) in der Form

a*(1,0)+b*(2,-1)+c*(0,-1)=(1,-1) darstellen, sogar auf unterschiedliche Weise.

Löse dazu das Gleichungssystem

a+2b+0c=1  und 0a-b-c=-1

==>   a= 1-2b  und   c= 1-b

Also gibt es viele Lösungen, alle von der Form

( 1-2b , b   ,   1-b ).

Und wenn du jetzt für b eine Zahl wählst, etwa b=1 hast du

a= -1      und b = 1     und  c=0 .

Also ist eine mögliche Darstellung

-1*(1,0)+1*(2,-1)+0*(0,-1)=(1,-1)

Comments

Dankeschön. In der Aufgabe geht es um Transformationen von ℝ² in ℝ³  etc. Die Matrizen, die ich als Basen gelesen habe, sind so gegeben: f₁(1,0) = (1, 2,0) usw. Wenn doch keine Basen gegeben sind (sondern nur so etwas wie Funktionswerte (?), wie bestimme ich die Koordinaten dann?

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Wenn doch keine Basen gegeben sind (sondern nur so etwas wie Funktionswerte (?)

Genau. Das sind einfach nur Funktionswerte und keine Basen. Wie gesagt eine Basis besteht aus linear unabhängigen Vektoren, was bei der 2. Basis ja wohl nicht zutrifft.

Bei Matheaufgaben also nie eigenmächtig interpretieren und hier im Forum den original Aufgabentext einstellen.