Basis bei Eigenraum - Nullzeile??

Question

Hi, ich hänge noch ein wenig an einer Aufgabe. Das charakteristische Polynom ist 4x^3 + 3x^2. Das alles findet im 5er Restklassenkörper statt. Die Eigenwerte sind also x1,x2=0 und x3=3. Der Eigenraum von 0 hat die Dimension 2. Der für x3=3 sollte nun eigentlich 1 haben jedoch komme ich darauf nicht:

3 2 3.    3 2 3

4 0 2.    0 4 3

3 1 1 -> 0 0 0

x3 ist nun frei wählbar und daraus folgt doch jetzt eine Dimension von 2. Oder hat man auch die Möglichkeit Nullzeilen bei Bedarf ganz zu streichen? Danke

Answer 1

3 2 3.    3 2 3

4 0 2.    0 4 3

3 1 1 -> 0 0 0

x3 ist nun frei wählbar und daraus folgt doch jetzt eine Dimension von 2.  NEIN, es folgt  x3 = t (oder so) 

und dann   4x2 + 3t = 0   also  4x2 = -3t   wegen Z5 also  =  2t 

und                               4x2 = 2t   ==>    x2 =  - 2t  =  3t  

In die erste einsetzen   3x1  + 2*3t  + 3*t = 0 

                                     3x1 + 4t  = 0 

                                         x1 = 2t   

Also sind die Eigenvektoren (  2t ; 3t ; t ) = t* ( 2 ; 3 ; 1 ) 

also ist { ( 2 ; 3 ; 1 )  } eine Basis des Eigenraumes der Dimension 1.

Comments

Hallo danke für die Antwort. Kann man nun daraus schließen, dass 1 Nullzeile = Dimension 1 und 2 Nullzeilen = Dimension 2 ?

Oder wie bestimmt man in dem Fall die Dimension?

Ich habe nämlich nun in einer anderen Aufgabe wieder ein LGS mit 1 Nullzeile aber die Dimension des Eigenraums MUSS 2 sein

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Wenn du die Matrix so umgeformt hast, dass in der Diagonalen

oberhlb der Nullzeilen keine 0en sind, dann  ist immer 

dim Eigenraum = Anzahl der Spalten minus Anz. der Nullzeilen