Den Wert der Reihen berechnen

Question

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kann jemand mir bei dieser Aufgabe helfen ?

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Tipp: 1. binomischer Lehrsatz

2. geometrische Reihen

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Danke für deine schnelle Antwort, kannst du oder jemand zeigen wie ich damit anfangen soll. Ich bin mir unsicher wenn ich aus der Definitionen was lösen muss.

Answer 1

(ii)

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 2\quad -\quad { \left( -1 \right)  }^{ n } }{ { 3 }^{ n } }  } \quad =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 3 }{ { 3 }^{ 2n-1 } }  } \quad +\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ 2n } }  } \\ \\ =\quad { \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ { 3 }^{ n-1 } }  \right)  }^{ 2 } }  }\quad +\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ { 3 }^{ n } }  \right)  }^{ 2 } } \quad =\quad { \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ { 3 }^{ n } }  \right)  }^{ 2 } }  }\quad +\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ { 3 }^{ n } }  \right)  }^{ 2 } } \quad \\ \\ =\quad \quad 2\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 9 }^{ n } }  } \\ \\ =\quad 2\quad *\quad \left( { \frac { 1\quad -\quad \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { 1 }{ { 9 }^{ n } }  }{ 1\quad -\quad \frac { 1 }{ 9 }  }  } \right) \quad =\quad 2\quad *\quad \frac { 9 }{ 8 } \quad =\quad \frac { 9 }{ 4 } \quad $$

Comments

wegen des assoziativgesetzes habe ich es nochmal geändert:

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 2\quad -\quad { \left( -1 \right)  }^{ n } }{ { 3 }^{ n } }  } \quad =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 3 }{ { 3 }^{ 2n-1 } }  } \quad +\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ 2n } }  } \\ \\ =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ 2n-2 } }  } +\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ 2n } }  } \quad =\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ 2n } }  } +\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ 2n } }  } \\ \\ =\quad { \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 9 }^{ n } }  }  }\quad +\quad { \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 9 }^{ n } }  }  }\quad =\quad 2\quad \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 9 }^{ n } }  } \\ \\ =\quad 2\quad *\quad \left( { \frac { 1\quad -\quad \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { 1 }{ { 9 }^{ n } }  }{ 1\quad -\quad \frac { 1 }{ 9 }  }  } \right) \quad =\quad 2\quad *\quad \frac { 9 }{ 8 } \quad =\quad \frac { 9 }{ 4 } \quad $$

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Kurze Verständnisfrage: wo verschwindet denn die 3 im Zähler von der ersten auf die zweite zeile hin?
Edit: Ok jetzt ist es einleuchtender