Prüfen bei Signifikanzniveau von 5%, ob die Entscheidung gerechtfertigt ist. Stimmt meine Lösung? (Stochastik)

Question

Aufgabe:

Seit einiger Zeit häufen sich Reklamation wegen fehlerhafter Verpackungen. Daraufhin lässt die Großbäckerei die Verpackungsmaschine genauer untersuchen und teste die Nullhypothese H₀= p (kleinergleich) 0.02. Bei einer Stichprobe von 100 Broten werden 4 fehlerhafte verpackte Brote gefunden. Die Nullhypothese wird daraufhin nicht verworfen. Prüfen Sie auf einem Signifikanzniveau von 5% ob diese Entscheidung gerechtfertigt ist.

Meine Rechnung:

0.05 = P_(p=0.02)(x=4)

B(100;0.02;4)= 100über4 * 0.02⁴* 0.98⁹⁶=9%

9%>5% daraus folgt, dass die Entscheidung nicht gerechtfertigt ist, weil die Wahrscheinlichkeit den alphaFehler zu begehen höher 5% ist.

Könnte das so stimmen? Und wenn nicht, kann mir jemand vor allem erklären warum?

Thx im Voraus

Ich hasse Stochastik

Answer 1

> B(100;0.02;4)= 100über4 * 0.02⁴* 0.98⁹⁶=9%

Das kann man in diesem Fall so rechnen weil n relativ klein ist und p weit von 1/2 entfernt ist (beides führt zu einer geringen Streuung und damit zu hohen Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Ergebnisse).

Jetzt verzehnfachen wir die Anzahl der getesteten Brote auf 1000 und versiebenfachen die Anzahl der fehlerhaften Verpackungen auf 28.

Es ist dann B(1000;0.02;28)= 100über28 * 0.02²⁸* 0.98⁹⁷² = 1,78% ≤ 5%

Trotzdem sollte die Nullhypothese beibehalten werden.

Und zwar weil die Wahrscheinlichkeit P(X≥28) größer als 5% ist.

> 9%>5% daraus folgt, dass die Entscheidung nicht gerechtfertigt ist,

Die  Schlussfolgerung aus deiner Rechnung ist falsch.

Bei einem Signifianzniveau von 5% darf ein Ereignis, dass in 9% aller Fälle eintritt, nicht dazu führen, dass die Nullhypothese verworfen wird.

Zum Vergleich: in 27,34 % aller Fälle hast du genau zwei falsch verpackte Brote (also genau den Erwartungswert). Würdest du auch dann die Nullhypothese ablehnen.

> weil die Wahrscheinlichkeit den alphaFehler zu begehen höher 5% ist.

Die Nullhypothese sollte verworfen werden, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass man damit einen Fehler begeht, eher klein ist.