\(3\cdot 3^{n}-3\)
\(=2\cdot 3^{n}+3^n-3\)
Überzeuge Dich mit den Potenzgesetzen davon, dass \(3^{n}=3\cdot 3^{n-1}\). Damit erhältst Du
\(=2\cdot 3\cdot 3^{n-1}+(3^n-3)\)
\(=6\cdot 3^{n-1}+(3^n-3)\)
Nach der Induktionsvoraussetzung ist \(3^{n}-3\) ohne Rest durch \(6\) teilbar und der Ausdruck \(6\cdot 3^{n-1}\) aufgrund des Faktors \(6\) ebenfalls. Die Summe der beiden ohne Rest durch \(6\) teilbaren Ausdrücke ist ebenfalls ohne Rest durch \(6\) teilbar.