Kann eine Summe von fünf beliebigen aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen eine Primzahl sein?

Question

Aufgabe:

Kann eine Summe von fünf beliebigen aufeinander folgen den natürlichen Zahlen eine Primzahl sein?

a) Untersuche dazu drei Beispiele.

b) Formuliere entsprechend der Frage eine Vermutung über die Summe von fünf aufeinander folgenden natürlichen Zahlen.

c) Begründe deine Vermutung.

Answer 1

ich fange direkt mal hinten an :-)

5 aufeinander folgende natürliche Zahlen lassen sich darstellen als

n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)

Wir können die Klammern weglassen und aufsummieren:

5n + 10

Und jetzt klammern wir 5 aus:

5 * (n + 2)

Man sieht sofort, dass diese Summe durch 5 teilbar ist, also keine Primzahl!

Besten Gruß

Comments

Gut, fangen wir ganz unten an:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 =

1 + (1+1) + (1+2) + (1+3) + (1+4) =

15 | ist durch 5 teilbar


Nächste mögliche Summe:

2 + 3 + 4 + 5 + 6 =

2 + (2+1) + (2+2) + (2+3) + (2+4) =

20 | ist durch 5 teilbar


Nächste mögliche Summe:
3 + 4 + 5 + 6 + 7 =

3 + (3+1) + (3+2) + (3+3) + (3+5) =

25 | ist durch 5 teilbar


Und so geht das immer weiter :-)

Answer 2

n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5·n + 10 = 5·(n + 2)

Wir sehen das die Summe von 5 aufeinanderfolgenden Zahlen immer durch 5 teilbar sein muss. Da n eine Natürliche Zahl ist fällt als Summe die 5 weg. Das wäre ja die einzige Primzahl.

Die Summe kann also keine Primzahl sein.

Answer 3

ich fasse's nochmal zusammen;

Für eine positive Primzahl \( p \in \mathbb{P} \subset \mathbb{Z} \) ist die Summe p aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist durch p teilbar.

Beweis.

Induktionsanfang: \( p \mid \sum_{i = 1}^{p} i = (p\ über\ 2) \) ("p teilt ..."), denn es gilt

\( (p\ über\ 2) = \frac{p !}{ 2! (p - 2)!} = p \cdot \frac{(p-1)!}{2! (p-2)!} \), wobei \( \frac{(p-1)!}{2! (p-2)!} \) ganzzahlig ist, da weder Zähler noch Nenner den Faktor p enthalten.

Induktionsschritt: Sei \( x = \sum_{i=n}^{n+p-1} i \) durch p teilbar gemäß \( x = ap \) für ein \(a \in \mathbb{Z} \). Dann ist \( \sum_{i=n+1}^{n+1+p-1} i = p + \sum_{i=n}^{n+p-1} i = p + ap = p (1 + a) \) ebenso durch p teilbar.

q.e.d.

MfG

Mister

Comments

Gilt nicht  ∑_k=1,...,p k = ((p + 1) über 2) ?
Was, wenn  p = 2?  1 + 2 = 3  ist nicht durch  2  teilbar.

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Stimmt. Die Gleichung lautet \( x = \sum_{i=1}^{p} i = ((p+1)\ über\ 2) = \frac{(p+1)p}{2}\). Die Argumentation bleibt die gleiche: Da p eine Primzahl ist, muss die 2 die Zahl p + 1 teilen. Folglich ist x durch p teilbar.

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Für  p = 2  ist  x = (2 + 1)·2/2 = 3, und es gilt nicht, dass  x  durch  p  teilbar ist.

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p ist ja auch eine gerade Primzahl. Die Aussage gilt nur für ungerade Primzahlen, also alle Primzahlen außer der 2.

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Wo steht das? In deiner Antwort ist von einer positiven Primzahl  p  die Rede und nicht von einer ungeraden Primzahl.

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Glaub's mir einfach.

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Mathematik ist keine Frage des Glaubens.

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Sondern eine Frage des Wissens. Und du weißt jetzt, dass die obige Aussage nur für ungerade Primzahlen.

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Warum beschränkst du dich eigentlich auf ungerade Primzahlen? Gilt die Aussage nicht sogar für alle ungeraden Zahlen?

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Nein, 6 mit 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 führt zu einem Gegenbeispiel, denn 6 teilt nicht 21 und wir haben keinen hübschen Induktionsanfang.

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Aber 6 ist gerade wirst du sagen... stimmt, man kann sagen, es gilt für alle ungeraden Zahlen.

Answer 4

1+2+3+4+5 = 15 = 3*5

2+3+4+5+6 = 20 = 4*5

3+4+5+6+7 = 25 = 5*5

Offensichtlich ist im Resultat immer 5 als Primfaktor drinn und es kommt als Resultat nie eine Primzahl raus.

Nun kannst du mein 'offensichtlich' noch in zwei drei Sätzen begründen.

Comments

Beweis durch Beispiel :) Obwohl, wenn man genau hinkuckt, ist dein Beispiel ein Induktionsanfang.

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@Mister: So übt man sich früh an Induktionsbeweisen.

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Die Aussage gilt übrigens für alle Primzahlen \( p \in \mathbb{P} \subset \mathbb{Z} \), da diese immer den Funktionsanfang \( p \mid \sum_{i=1}^{p} i = (p\ über\ 2) \) erfüllen. \(p \mid x \) soll dabei heißen "p teilt x".

Die verallgemeinerte Aussage: Für eine Primzahl p ist die Summe p aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen immer durch p teilbar.

Answer 5

n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4) = 5n+10 ist offensichtlich durch 5 teilbar.