Prüfe ob die Punkte P(-1|2), Q(3|-6) und R(2|-4) auf einer Geraden liegen.

Question

Hallo:) kann mir jemand die aufgabe erklären?
Die Aufgabe lautet:
Prüfe ob die Punkte P(-1|2) Q(3|-6) und R(2|-4) auf einer Geraden liegen.

Ich wäre euch sehr dankbar:)

Comments

Ich versuchte es mit dem Inhalt eines Dreiecks der drei Punkte:

2*A  =  x1*(y2-y3) + x2*(y3-y2) + x3*(y1-y2) .

Wenn A = 0 ist, liegen die Punkte auf einer Geraden.

Ausgangsgleichung ist:

2*A =  (x1- x2)*(y1 + y2) + (x2 - x3)*(y2 + y3) + (x3 - x1)*(y3 + y1)

Answer 1

Prüfe ob die Punkte P(-1|2) Q(3|-6) und R(2|-4) auf einer Geraden liegen.

Lösung mit Hilfe von Vektoren. Falls du das schon kennst. Vektorpfeile ergänzen und Vektorkomponenten vertikal anordnen. (Vektoren in meiner Rechnung fett)

PQ = (4 , -8) = -4 QR, PR  = (3, -6) = -3 QR, 

QR = (-1 , 2)

Die Vektoren haben somit gleiche oder entgegengesetzte Richtung. Daher liegen die Punkte P,Q,R auf einer Geraden.

Comments

Was bedeuten die = -4 und die = -3 in deiner Antwort?

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Das sind Skalare (hier: ganze Zahlen), die sich aus der Betrachtung des Vektors QR ergeben.

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Danke für die schnelle Antwort. Mhh, aber wie komme ich rechnerisch von (4, -8) zu = -4? Was sagt -4 aus?

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Das sind die Streckfaktoren für die Vektoren.

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Dort steht 

PQ = -4 * QR

Das bedeutet der Vektor von PQ ist Viermal so lang wie der Vektor von QR und zeigt genau in die entgegengesetzte Richtung.

PR = -3 * QR

PR ist 3 mal so lang wie QR und weist ebenfalls in die entgegengesetzte Richtung.

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Meine Antwort kannst du wie gesagt nur verstehen, wenn du schon weisst, was Vektoren sind.

Also, wenn ihr das Thema behandelt, das hier: https://www.matheretter.de/wiki/vektoren vorgestellt wird. Ansonsten musst du die andern beiden Antworten ansehen.

Answer 2

Hi,

bestimme die Gerade die durch P und Q geht.

Gerade allgemein: y=mx+b

Gleichungen:

2 = -m+b

-6 = 3m+b

Nach b auflösen und gleichsetzen:

2+m = -3m-6   |+3m-2

4m = -8

m = -2


Damit in die erste Gleichung: 2 = -(-2)+b -> b = 0


Es ist also y=-2x die Gerade durch P und Q. Liegt R drauf? Setze x ein und überprüfe y.

y = -2(2) = -4

Das entspricht dem y-Wert von R.


Die drei Punkte liegen auf einer Geraden.

Grüße

Answer 3

P(-1|2) Q(3|-6) und R(2|-4)

Steigung zwischen P und Q

m_PQ = (y1 - y2) / (x1 - x2) = (2 - (-6)) / (-1 - 3) = 8/(-4) = -2

Steigung zwischen P und R

m_PR = (y1 - y2) / (x1 - x2) = (2 - (-4)) / (-1 - 2) = 6/-3 = -2

Die Steigungen sind gleich und damit liegen die Punkte auf einer Geraden.

Comments

heißt es nicht y2-y1 / x2-x1 ?

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@Anonym: Du kannst jeweils oben und unten - ausklammern und wegkürzen.

 (y2-y1) /( x2-x1) = -(y1-y2) / -(x1-x2) ?

Minus / Minus = Plus / Plus

Daher kommt das hier nicht drauf an.