Wie bestimme ich alle Untergruppen einer Ordnung?

Question

ich habe die Einheitengruppe Z20* gegeben. Diese enthält also die Elemente 1,3,7,9,11,13,17,19.

Ich soll nun alle Untergruppen der Ordnung 2 bestimmen.

Die Ordnung 2 hat nur 2 Elemente der Gruppe wenn ich richtig bin?

Sind meine Untergruppen nun {1,1}, {1,3}, {1,7}, {1,9}, {1,11}, {1,13}, {1,17} und {1,19}?

Weiterhin soll ich die Linksnebenklassen der Untergruppe U={1,3,7,9} bestimmen.

wie genau funktioniert das?

Answer 1

Sind meine Untergruppen nun {1,1}, {1,3}, {1,7}, {1,9}, {1,11}, {1,13}, {1,17} und {1,19}?

Nein:

{1,1} hat nicht die Ordnung 2

 {1,3}  ist keine Untergruppe, da 3*3 nicht wieder in dieser "Untergruppe" ist

 {1,7}  auch nicht

{1,9} stimmt, da 9*9=1

{1,11} stimmt auch

 {1,13}  falsch

{1,17}   falsch

 {1,19} stimmt.

Weiterhin soll ich die Linksnebenklassen der Untergruppe U={1,3,7,9} bestimmen.

Zuerst mal U selbst, das ist die Linksnebenklasse von 1 und von 3 und von 7 und von 9

Dann musst du einfach alle Elemente von Z20* durchgehen und sie mit denen von U

verknüpfen. So erhältst du z.B. die Linksnebenklasse von 2, häufig auch als 2U geschrieben

2U= { 2;6;14;18}

3U=U=7U=9U hatten wir schon.

4U= {4;12;8;16}

5U={5;15}

6U={6;18;2;14} = 2U hatten wir also auch schon.

Und du siehst  2U=6U=14U=18U , wenn du zwei aus der gleichen

Klasse nimmst, bekommst du keine neue Klasse.

Also wäre was neues zu erwarten erst bei

10U={ 10 }

11U={11;13;17;19}

Das wäre es dann.

Es gibt also nur 6 verschiedene Linksnebenklassen von U .