LGS. Fundamentallösung geschickt ablesen?

Question

Ich habe meine Schwierigkeiten bei einer umgeformten Matrix die Fundamentallösung abzulesen. Hier die Lösung, um die es mir geht:

Also der erste Teil ist mir klar. Die 4te und 2te Spalte wird zurückgetauscht und das gibt dann die angegebene Lösung. Ich weiß auch, dass die obersten Zahlen -p bilden d.h. diese werden mal minus genommen. aber woher werden die ganzen 1sen genommen? Vor allem beim letzten Vektor verstehe ich wirklich nicht wie die Vorgehensweise hier ist. Kann mir das jemand idiotensicher erklären?

Answer 1

Hallo Castyk! :-)

Treppennormalform

1    0     2    1/2    2    1/2(b-a)
0    1     0      0     1    b-2a

Spalte 2 und 4 tauschen
1     1/2    2    0    2    1/2(b-a)
0       0     0    1    1    b-2a

Zur quadratischen Koeffizientenmatrix durch hinzufügen von Nullzeilen erweitern und die fehlende Pivotpositionen mit -1 besetzen.

1     1/2    2    0    2    1/2(b-a)
0    -1      0     0    0    0
0     0     -1    0     0    0
0     0      0     1    1    b-2a
0     0      0     0   -1    0

Wie du siehst, entsprechen die Spalten mit den eingefügten -1sen den 3 Vektoren der Lösungsmenge(des zugehörigen homogenen LGS), lediglich mit entgegengesetztem Vorzeichen. Das LGS hat 5 Variablen, die wir mit x1, x2, x3, x4, x5 bezeichnen. Die Variablen x2, x3, x5(die über den Spalten mit der eingefügten -1 stehen) sind frei wählbar. In deiner Lösung wurden t3 = -x3, t4 = -x2 und t5 = -x5 gewählt. Damit drehen sich die Vorzeichen um und bekommen dieselben Vorzeichen wie in deiner Lösung. Daher auch die ganzen 1sen.

Beste Grüße

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Danke dir, hat um Welten mehr geholfen als mein Skript!