Fundamentallösung eines Gleichungssystems

Question

Ich löse ein LGS :

Koeffizientenmatrx :

8 6 3 9 3 | a

12 9 3 12 6  | b

4 3 2 5 1 | c

16 12 2 13 10 | d

Durch Umformungen kann eine Matrix der Gestalt

1 0 3/4 3/4 3/4 | (2y - 3c) / 4

0 1 0 1 -1 | 2c -a

0 0 0 0 0 | 0

0 0 0 0 0 | 0

, also in oberer Dreiecksgestalt , erreicht werden .

Die Lösungsmenge ist eine spezielle Lösung des LGS mit der Fundamentallösung des homogenen LGS.

Die spezielle Lösung , die in der Lösung angeben ist ,erkenne ich heraus. Die Fundamentallösung jedoch, obwohl sie direkt aus der Matrix oben herausgelesen werden kann, nicht.

Answer 1

Das homogene System hat ja dann die Matrix

1 0 3/4 3/4 3/4 |  0

0 1 0 1 -1 |   0

0 0 0 0 0    | 0

0 0 0 0 0    | 0

und da du 5 Variable hast, aber Rang=2 kannst du die letzten

3 frei wählen, etwa  x5=r    x4=s      x3=t

und dann die anderen berechnen

x2 = r - s

x1 = (-3/4) r  -(3/4) s - (3/4) t

also Fundamentallösung

x =  (  (-3/4) r  -(3/4) s - (3/4) t  ;   r - s  ;  t    ;      s     ;     r  )

eine Basis des Lösungsraumes des hom. Systems ist also

( -3/4 ; 1  ;   0  ; 0  ; 1 ) , ( -3/4 ;   -1    ; 0 ; 1 ; 0 ) , ( -3/4 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0)