Wie zeige ich das es genau eine Fundamentallösung n ∈ K^3 des homogenen Gleichungssystems Ax = 0 gibt?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es seien \( K \) ein Körper und \( v, w \in K^{3} \) zwei Spalten, von denen keine ein Vielfaches der anderen ist. Wir schreiben \( U=\{a v+b w \mid a, b \in K\} \) für die von \( v, w \),,aufgespannte" Ebene (die Terminologie wird später klarer). Weiter sei \( A=\left(\begin{array}{c}v^{\top} \\ w^{\top}\end{array}\right) \in K^{2 \times 3} \).
Zeigen Sie:
a) \( A \) hat Rang 2 und es gibt genau eine Fundamentallösung \( n \in K^{3} \) des homogenen Gleichungssystems \( A x=0 \).
b) Es gibt genau zwei Fundamentallösungen des Gleichungssystems \( n^{\top} x=0 \), und
\( \mathcal{L}\left(n^{\top}, 0\right)=U \)

Problem/Ansatz:

Für Teilaufgabe a) haben ich bereits gezeigt das A Rang 2 haben muss, da wenn A Rang 1 bzw. Rang < 2 hätte v und w Lin. abhängig wären. Allerdings fehlt mir der Ansatz um zu zeigen, dass es genau eine Fundamentallösung gibt.

Answer 1

A hat den Rang 2 aber 3 Spalten. Also ist die Lösungsmenge von

\( A x=0 \) eindimensional.

==> Alle Lösungen sind Vielfache einer von 0 verschiedenen

Fundamentallösung.