Ermitteln Sie den Funktionsterm? Achsensymmetrische ganzrationale Funktion vierten Grades …

Question

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Sie hat bei 3 eine Nullstelle und hat den Tiefpunkt T(21-25).

Ermitteln Sie den Funktionsterm!

Answer 1

Hallo Janet,

 weil die Funktion achsensymmetrisch ist, kommen nur gerade Hochzahlen bei x vor

f(x) =  a·x⁴ + b·x² + c     

f '(x)  =  4·a·x³ + 2·b·x

f(3) = 0       ⇔   81·a + 9·b + c = 0        G1           weil G_f  durch (3|0) verläuft

f(2) = - 25   ⇔   16·a + 4·b + c = -25    G2            weil G_f  durch (2|- 25) verläuft

f '(2) = 0     ⇔    32·a + 4·b = 0             G3           weil  bei x=2 ein  Tiefpunkt liegt

G1 - G2   ergibt eine Gleichung ohne c   

65a + 5b = 25  | : 5     ⇔     13a + b = 5  ⇔  b = 5 - 13a   (#)

b in G3 einsetzen:   32a + 4 * (5 -13a)  = 0  ⇔   32a + 20 - 52·a  = 0  

                          ⇔ -20a +20 = 0  ⇔   a = 1    →_#  b = - 8

Einsetzen von a und b in G1 ergibt dann c = -9 :

a = 1  ;  b = - 8  ;  c = - 9

f(x) = x⁴ - 8x² - 9  

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hallo janet

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat die Form
f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
Durch die Forderung, dass die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll,
entfallen die ungeraden Exponenten und die Form ändert sich zu
f(x) = ax^4 + cx^2 + e
Wir werden noch die erste Ableitung brauchen und die ist
f'(x) = 4ax^3 + 2cx

Wir haben drei Unkbekannte: a, c, e, die wir berechnen müssen.
Für eine eindeutige Lösung brauchen wir daher 3 Gleichungen.
Diese bekommen wir aus den Angaben im Text.

Bei 3 eine Nullstelle bedeutet
f(3) = 0
a(3)^4 + c(3)^2 + e = 0
81a + 9c + e = 0  Gleichung I.
Die Angabe Tiefpunkt T(2 |-25) sagt uns, dass der Funktionswert an der Stelle 2 gleich -25 ist und das die erste Ableitung an der Stelle 2 gleich Null ist:
f(2) = -25
a(2)^4 + c(2)^2 + e = -25
16a + 4c + e = -25 Gleichung II.

f'(2) = 0
4a(2)^3 + 2c(2) = 0
32a + 4c = 0 Gleichung III.

Wähle ein Verfahren deiner Wahl, um das Gleichungssystem
81a + 9c + e = 0         I.
16a + 4c + e = -25        II.
32a + 4c = 0            III.
zu lösen und erhalte die Lösungen a = 1, c = -8, e = -9 und damit die gesuchte Funktion
f(x) = x^4 - 8x^2 -9

Grüße

Answer 3

4. Grad , Achsensymmetrie , bei \(x=3\) eine Nullstelle und T\(2|-25)\)

\(T_1(2|-25)\)→\(T_1´(2|0)\) Hier ist eine doppelte Nullstelle.

Die Achsensymmetrie bewirkt nun auch bei \(T_2´(-2|0)\) eine doppelte Nullstelle.

\(f(x)=a(x-2)^2(x+2)^2\)

Damit der Tiefpunkt bei  T\(2|-25)\) liegt:

\(p(x)=a(x-2)^2(x+2)^2-25\)

Nun existiert noch eine Nullstelle bei \(x=3\)

\(p(3)=a(3-2)^2(3+2)^2-25=25a-25=0\):

\(a=1\)

\(p(x)=(x-2)^2(x+2)^2-25\)