H-Methode für eine funktion

Question

guten tag liebe leute


ich hätte mal eine frage.


meine aufgabe heißt "Wo hat f(x) eine Definitionslücke? Untersuchen Sie dort das Verhalten der Funktionswerte und nutzen Sie die Grenzwertsätze (h-Methode):


f(x) = (3x-1) / (3-x)


Also die Definitionslücke is bei 3, oder sehe ich das falsch? Und ich verstehe nicht was die von mir wollen. Soll ich jetzt mithilfe der H-Methode, dass ausrechnen? Weil dann kriege ich 11. Aber das kann ich mir nicht vorstellen, dass die das von mir wollen.

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Ja. Die Definitionslücke liegt bei x = 3. Und sie ist nicht hebbar (i.e. 'rauskürzbar'), da im Zähler bei x = 3 nicht 0 steht, sondern 9-1= 8.

Eigentlich bist du hier fertig, wenn du weisst, dass Grenzwert 0 im Nenner und definierter Zähler Unstetigkeit bedeuten.

Nun sollst du das hier aber mit der h-Methode beweisen. Das hat Mathecoach gemacht. Möglich, dass ihr in der Schule dieses h als Delta-x bezeichnet hattet, resp. das dort nicht wirklich nachgerechnet wurde.

Answer 1

Du setzt einmal 3-h und einmal 3+h ein und lässt h dann vom positiven her gegen Null gehen.

f(x) = (3·x - 1)/(3 - x)

lim (h -> 0+) (3·(3-h) - 1)/(3 - (3-h))
lim (h -> 0+) (8 - 3·h)/h
lim (h -> 0+) 8/h - 3 = ∞

lim (h -> 0+) (3·(3+h) - 1)/(3 - (3+h))
lim (h -> 0+) - (3·h + 8)/h
lim (h -> 0+) - 8/h - 3 = -∞

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Mal eine Frage zu deiner Rechnung. Bei den letzten beiden Schritten
Beispielsweise hier: lim (h -> 0+) (8 - 3·h)/h

                                      lim (h -> 0+) 8/h - 3 = ∞


Da hast du am Ende ja noch "h"... Ich kenne das so, dass man am Ende h weg kürzt und man nur noch eine Zahl raus hat. Beispielsweise hier... ich überspringe ein paar Parts


lim h-> 0      (4h+h²)/h

""                   (4+h) = 4

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Schon so, geht aber nur, wenn h nach dem Kürzen nicht mehr im Nenner ist.

Ist h noch im Nenner und der Zähler nicht 0, gibt es für h gegen 0 keinen Grenzwert.

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Verstehe nur nicht, wie du auf das Endergebnis kommst.
Wie kommst du auf lim (h -> 0+) - 8/h - 3 = -∞  ? Das müsste doch (8+3h)/h sein oder nicht?

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Setz doch einfach mal für h etwas sehr kleines ein

lim (h -> 0+) - 8/h - 3 = -∞

lim (h -> 0+) - 8/0.00000000000001 - 3 = -∞

Tipp das mal in den TR ein und schaue was dort heraus kommt.

Wenn ich eine Zahl > 0 durch den Grenzwert 0+ teile, kommt etwas unendlich großes heraus.