Möglicherweise lässt sich wie folgt argumentieren:
Setze \(a_{jk}=\frac1{j^3+k^3}\). Dann ist \(a_{kj}=a_{jk}\) und$$\quad\sum_{j,k=1}^na_{jk}=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^na_{jk}=\sum_{j=1}^n\left(\sum_{k=1}^j(a_{jk}+a_{kj})-a_{jj}\right)=\sum_{j=1}^n\left(\sum_{k=1}^j2a_{jk}-a_{jj}\right)$$$$=\sum_{j=1}^n2\sum_{k=1}^j\frac1{j^3+k^3}-\sum_{j=1}^n\frac1{2j^3}<2\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^j\frac1{j^3}-\tfrac12\sum_{j=1}^n\frac1{j^3}$$$$=2\sum_{j=1}^n\frac1{j^2}-\tfrac12\sum_{j=1}^n\frac1{j^3}.$$Die Folge der Partialsummen wäre demnach beschränkt.
