Die quadratische Fehlersumme bei einer Ausgleichsgeraden kann man schreiben als
$$ \sum_{i=1}^n \left[ (y_i - \overline{y}) - \frac{s_{xy}}{s_x^2}(x_i - \overline{x}) \right]^2 = (n-1) \left( s_y^2 - 2 \frac{s_{xy}^2}{s_x^2} +\frac{s_{xy}^2}{s_x^2} \right) = (n-1) \left( s_y^2 - \frac{s_{xy}^2}{s_x^2} \right) $$
Ist die Fehlersumme gleich \( 0 \) folgt einerseits
$$ y_i = \frac{s_{xy}}{s_x^2}(x_i - \overline{x}) + \overline{y} $$ also, dass die Messwerte aller auf einer Geraden liegen und andererseits $$ s_{xy}^2 = s_x^2 s_y^2 $$ also $$ r_{xy} = \pm 1 $$
\( s_x^2 \) ist die Varianz der x-Werte, \( s_y^2 \) die Varianz der y-Werte und \( s_{xy} \) die Kovarianz. \( r_{xy} \) der Korrelationskoeffizient.
