Vollständige Induktion (n/e)^n <= n!

Question

ich habe eine Aufgabe wo ich zeigen soll (n/e)ⁿ <= n!

bei n=1 ist das klar

bei n -> n+1 komme ich nach etwas rechnerei auf

(n+1)/(e) * ((n+1)/(e)^{n}) <= n!(n+1) und ab hier komme ich nicht mehr weiter kann mir da jemand helfen

Edit: Aufgabe gemaess Kommentar korrigiert.

Comments

ich habe eine Aufgabe wo ich zeigen soll (n/e) <= n!

Nicht zufaellig stattdessen \(\left(\frac{n}{e}\right)^n\le n!\) ?

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Ja das meine ich

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Naja, dazu musst Du \(\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}\) so umschreiben, dass Du im Umgeschriebenen \(\left(\frac{n}{e}\right)^n\) drin hast. Sonst kannst Du keine Induktion machen.

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Und wie geht es jetzt weiter hier hänge ich 

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Deine Faktorisierung taugt so noch nichts, weil da der Ausdruck \(\left(\frac{n}{e}\right)^n\) aus der Induktionsannahme nicht drin auftaucht. Frickle den passend rein, dann geht es weiter.

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Als Tipp: Ersetze in Deiner letzten Zeile den Faktor \(\left(\frac{n+1}{e}\right)^n\) einfach durch das, was man gerne da stehen haette, naemlich \(\left(\frac{n}{e}\right)^n\). Dann ist es zwar falsch, aber dafuer schoen. Korrigiere das einfach noch mit einem dritten Faktor, der die Gleichheit wieder herstellt.

Answer 1

Hi,

verstehe deine Ungleichung leider nicht ganz.

Du musst zeigen, dass

$$\frac{n+1}{e} \le (n+1)!$$

gilt.

Es gilt: $$\frac{n+1}{e}= \frac{n}{e}+\frac{1}{e}$$

Wie geht es weiter?

Bzw. kannst du mir gerne deine Ungleichung erläutern, vielleicht sehe ich einfach gerade nicht das was du vor hast.

Comments

habe falsch geklammert

also ich habe einmal den (n+1)/(e) * ((n+1)/(e))^n ≤ n!(n+1)

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Leider ist mir nicht klar wie du auf den zweiten Faktor mit dem hoch n kommst. Dein erster Faktor ist schon alles was da stehen muss.

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Hier das was ich gemacht habe 

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Das musst du nicht, du musst einfach das n in $$\frac{n}{e} \le n!$$ ersetzen durch n+1. Die Potenz n+1 musst du da nicht hinmachen :)

Wie kommst du darauf, dass du das so tun musst?

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Bei vollständiger Induktion ist doch einmal zeigen für n=1 dann für n+1

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Warum nicht die Potenz ich habe doch den Ausdruck hoch n also muss ich doch das bei der Potenz auch das n+1 rein oder nicht?

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Achso, ok, hatte die Überarbeitung nicht gesehen. Ja, dann schon so wie du es getan hast. Ich denke "Fakename" erledigt den Rest (oder?). Er hatte einen guten Tipp gegeben. Falls nicht, helfe ich dir weiter.

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Also ich würde genau so vorgehen wie du. Aber leider weiß ich nicht, wie du jetzt auf deinen induktionsanfang (n/e)^n kommst auf der „kleiner“ Seite. 

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Danke hab es anders gelöst durch eine geschickte unformung geht das einfacher 

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Hi,

wie genau verwendest du 1.) ganz unten? Das ist mir nicht ganz klar.

Aus 1.) kannst du schließen, dass

$$e^{n+1} \ge \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} + \sum_{k=1}^{n} \frac{(n+1)^{k}}{k!}$$

Nun muss der hintere Summand größer gleich eⁿ sein. Das ist aber nicht immer der Fall würde ich vom Gefühl her sagen.

Alternative:

$$(\frac{n+1}{e})^{n+1} \\ = (\frac{n+1}{e})^{n} \cdot (\frac{n+1}{e}) \\ = (\frac{n}{e})^{n} \cdot (1+\frac{1}{n})^n \cdot (\frac{n+1}{e}) \\ \overset{IV}{<} n! \cdot (1+\frac{1}{n})^n \cdot (\frac{n+1}{e}) $$

Nun musst du noch wissen, dass $$lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$$ ist und dass diese Folge monoton steigend ist. Damit weiß du nämlich dann, dass$$ (1+\frac{1}{n})^n < e \ \forall n \in \mathbb{N}$$Somit geht's weiter wie folgt:$$n! \cdot (1+\frac{1}{n})^n \cdot (\frac{n+1}{e})  < n! \cdot e \cdot \frac{n+1}{e} = (n+1)! $$Das zweite Gleichheitszeichen erklärt sich wie folgt:$$(\frac{n+1}{e})^n =  (\frac{n}{e})^n \cdot x $$musst du nach x auflösen. Du erhältst $$x=(1+\frac{1}{n})^n$$