Orthogonale Funktion mit Variablen elegant und einfach lösen

Question

Hi, bei der folgenden Matrix soll ich die Parameter a und b und c so lösen, dass die Matrix A Orthogonal wird.
Orthogonal wird die Funktion ja, wenn A • A^T = 1 wird. Wie geht man denn hier am besten vor?

Answer 1

Berechne doch einfach A* A^T  und setze dies mit der Einheitsmatrix gleich.

Jetzt kannst du komponentenweise auflösen.

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Ich habe in dem Fall das Problem, dass ich auf keine runden Werte komme. Und als Lösung muss ich eine symbolische Angabe machen. Hier mein Rechenweg:

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Der Ausdruck in der Mitte ergibt:

4/12 +4/12 + a^2 = 1
Nun a ausrechnen.

Der Wert unten rechts:
0 + 36/c + b^2 = 1

Jetzt betrachte noch eine weitere Gleichung. Dann hast du zwei Gleichungen und kannst nach b und c auflösen.

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Ich habe es versucht zu berechnen. 'Aber irgendwie stimmt da was nicht. Hab ich mich einfach nur verrechnet oder stimmt der Rechenweg als solches nicht?

Answer 2

bei orthogonalen Matrizen stehen die Spaltenvektoren jeweils orthonormal aufeinander, daher gilt für die Spaltenvektoren b_i

$$ b_i *b_j =\delta _{ij} $$

Damit kannst du relativ leicht c bestimmen, indem du den mittleren Vektor normierst. a und be bekommst du dann mithilfe der Orthogonalität des rechten Vektors zu den anderen beiden.

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Mir ist es schon fast etwas unangenehm. Aber ich bin grad völlig durcheinander. Ich habe nun versucht, den mittleren Vektor zu normieren. Allerdings glaube ich nicht, dass ich das gemacht habe, was du gemeint hast. Denn einfach erscheint es mir hier nicht zu sein, die Variable c zu bestimmen. Hierzu die Rechnung:

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Der Betrag eines Vektors ist eine Zahl.

Der Teil mit der Wurzel ist richtig. Der Vektor gehört da in den Term für den Betrag jedoch nicht rein.

Ansatz:

|b2|=√(1/6 +4/12 + 36/c) =1

Löse diese Gleichung nach c auf.