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In einer Stadt mit 500 000 Einwohnern ist ein Verbrechen geschehen, bei dem DNA des mutmaßlichen Täters am Tatort zurückblieb. Durch DNA-Tests soll nun der Täter gefunden werden. Nehmen Sie an, dass alle 500 000 Einwohner getestet werden. (In der Realität ist dies unrealistisch, da einerseits nur bestimmte Bevölkerungsgruppen zu Tests aufgerufen werden und da andererseits diese Tests freiwillig sind.)

Der verwendete Test hat eine Sensitivität von 0.99, das heißt, wenn DNA der Testperson und DNA des Täters identisch sind, gibt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 Prozent ein positives Ergebnis. Er hat eine Spezifität von 0.998, das heißt, wenn DNA der Testperson und DNA des mutmaßlichen Täters nicht übereinstimmen, erhält man mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.998 ein negatives Ergebnis.

1. Wenn der Test bei einer Person anschlägt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der Betroffene tatsächlich der Täter ist? 

2. Wenn der Test bei einer Person nicht anschlägt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Betroffene tatsächlich nicht der Täter ist? 

Um sicher zu gehen, wird der Test bei den Personen, bei denen er positiv ausgefallen ist, ein zweites Mal durchgeführt.

3. Wenn der zweite Test bei einer Person anschlägt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um den Täter handelt? 

4. Wenn der zweite Test bei einer Person nicht anschlägt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich nicht um den Täter handelt? 

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Vierfeldertafel


Schuldig

Unschuldig


Positiv

99/50000000

499999/250000000

250247/125000000

Negativ

1/50000000

249499501/250000000

124749753/125000000


1/500000

499999/500000

1


1. (99/50000000) / (250247/125000000) = 495/500494 = 0.0009890 = 1/1011


2. (249499501/250000000) / (124749753/125000000) = 249499501/249499506 = 1.000

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Magst du das nicht nochmal genauer ausführen? Ich finde deine Antwort nicht sehr verständlich. Grüße

Wobei hast du den Verständnisschwierigkeiten?

Die VIerfeldertafel check ich überhaupt nicht, ich hab einfach mal Baumdiagramm gemacht und die Gegenwahrscheinlichkeiten ausgerechnet.

Es geht um gleiche Aufgabe, aber andere Werte:

500.000 Einwohner

Sensitivität: 0.99

Spezifität: 0.998

Gegegeben:
P(Täter)=1 / 500.000=0,00002 (Täter)
P(NichTäter)= 499.999/500.000=0,0999 (Nicht Täter)
P (T*IT)= 0,99 (Test positiv wenn Täter)
P(T-INT)= 0,998 (Test negativ wenn nicht Täter)
P(T*/NT)= 0,002 (Test positiv wenn nicht Täter)

Dann setzte ich die Werte einfach in das Theorem von Baynes
Zu 1.) hätt ich jetzt so umgestellt und gerechnet

= 0,99⋅0,00002/ (0,99⋅0,00002)+(0,002⋅0,0999)

Ist das korrekt ?

3,4) check ich jetzt aber überhaupt nicht

Muss ich jetzt an das Baumdiagramm an jedes "Zweig-Ende" noch einen neuen "Zweig" ransetzen mit den Ergebnis Werten aus 1.) und 2.) ? Die Formel muss ich dann auch nicht umstellen, richtig? sondern nur die Werte ergänzen, oder?

Es geht um gleiche Aufgabe, aber andere Werte:

Welche Werte unterscheiden sich denn genau. Ich habe auf die schnelle keine Abweichenden Werte gefunden.

Tatsächlich, mein Fehler. Beantwortet trotzdem nicht meine Frage. Ist mein Ansatz so denn Richtig ? Du hast ja auch iwi für 1.) ein anderes Ergebnis als ich (0,090)

P(NichTäter)= 499.999/500.000=0,0999 (Nicht Täter)

Wenn ich das ausrechne komme ich auf 0.999998 und nicht auf 0.0999

Du hast recht. Kannst du noch was zu 3) und 4) sagen ?

Sicher könnte ich das. Du kannst auch zunächst mal überlegen. Du brauchst doch einfach nur ein drei-stufiges Baumdiagramm zeichnen. Das solltest du eigentlich hin bekommen.

Hier noch meine Kontroll-Lösungen

1. P = 495/500494 = 0.0009890

2. P = 249499501/249499506 = 1.000

3. P = 245025/745024 = 0.3289

4. P = 249499501/249501976 = 1.000

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