Ableitungen, Funktionen mit variablen

Question

Wir haben drei Gleichungen bekommen:

1.) \( f(x)=x^{2}+17 \)

2.) \( g(x)=17 x \)

3.) \( h(x)=x^{4} \)

mit Hilfe einer Formel:

\( \frac{f\left(x^{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}} \)

Nun, muss man einsetzen, mit einem beliebigen X0 und X1= X0+h

Answer 1

Hallo Finja18,

du sollst die Ableitung bestimmen mit Hilfe der "h-Methode".

$$ f'(x_0)=\lim_{h->0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h-x_0)}=\lim_{h->0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$

Setzen wir mal die erste Funktion $$f(x)=x^2+17$$ ein:

$$ f'(x_0)=\lim_{h->0}\frac{((x_0+h)^2+17)-((x_0)^2+17)}{h}$$

Jetzt etwas ausmultiplizieren::

$$ f'(x_0)=\lim_{h->0}\frac{((x_0)^2+2x_0h+h^2)+17-((x_0)^2+17)}{h}$$

Jetzt mit h Nenner kürzen, Im Zähler hebt sich $$ (x_0)^2 $$ und 17 auf:

$$ f'(x_0)=\lim_{h->0}2x_0+h$$

Jetzt h gegen Null gehen lassen:

$$f′(x0)=2x_0$$

Fertig.

Die beiden anderen Aufgaben sind ähnlich.

Comments

Hier ist das wirklich sehr gut aufgeführt.

Ich habe dazu auch mal ein kleines Video gemacht. Ich halte mich dabei nicht ganz so an die vorgegebenen Formalien.

so verwende ich statt x0 einfach x und statt x1 gleich x + h

Desweiteren vermeide ich es so oft den limes zu benutzen obwohl es formal so besser ist.