Stochastische Prozesse Zusammenhang Matrix und Diagramm

Question

ich habe folgende Aufgabe und kenne auch das Ergebnis, aber ich habe überhaupt nicht verstanden wie man darauf kommt. 

Das Spielfeld besteht aus fünf Feldern. Die Spielfigur befindet sich auf einem dieser Felder. Das Ergebnis eines Würfelwurfes entscheidet, wie sich die Spielfigur bewegt. Die Matrix lautet 

1	1/2	0	0	0
0	1/6	1/2	0	0
0	1/3	1/6	1/2	0
0	0	1/3	1/6	0
0	0	0	1/3	1

und folgendes Bild:

Meine Aufgabe ist nun folgende: 

a) Erstellen Sie zu dieser Übergangsmatrix ein Prozessdiagramm und formulieren Sie eindeutige Spielregeln, die zu den Übergangswahrscheinlichkeiten passend sind.

b) Die Spielfigur startet auf Feld Nr. 3. Geben Sie die Anfangsverteilung an. 

zu a) mit dem Prozessdiagramm habe ich eigentlich keine Probleme. Ich würde die Spielfelder 1-5 als meine Zustände benutzen. 

Wir haben im Unterricht besprochen, dass die Spielregeln folgende wären: 

Für 1: Die Spielfigur bewegt sich ein Feld nach rechts.

Für 6:  Die Spielfigur bewegt sich ein Feld nach links.

für 2-5: Die Spielfigur bleibt auf dem aktuellen Feld stehen. 

Wie wird dies aus meiner Matrix deutlich???? Dass bei dem Feld 1 und 5 das Spiel vorbei ist, kann ich an der Matrix erkennen. Aber woran erkenne ich an der Matrix das Ergebnis des Würfelwurfes?

zu b) meine Startverteilung wäre dann (0|0|1|0|0) als vektor oder?

Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann. Danke schonmal . LG

Answer 1

> Ich würde die Spielfelder 1-5 als meine Zustände benutzen.

Das ist richtig.

> Wie wird dies aus meiner Matrix deutlich????

Überhaupt nicht. Spielregeln und Matrix passen nicht zueinander. Unten mehr dazu.

> zu b) meine Startverteilung wäre dann (0|0|1|0|0) als vektor oder?

Das ist richtig.

=== Hier fängt "Unten" an (obwohl es eher nach "Mitte" aussieht) ===

Die Matrix, die du angegeben hast, passt zu folgenden Übergangswahrscheinlichkeiten:

• Auf Feld 1 bleibt die Figur  stehen egal was gewürfelt wird.
• Auf den Feldern 2, 3 und 4 wechselt die Spielfigur
  • nach links mit der Wahrscheinlichkeit 1/2
  • nach rechts mit der Wahrscheilichkeit 1/3
  • überhaupt nicht mit der Wahrscheilichkeit 1/6
• Auf Feld 5 bleibt die Figur stehen egal was gewürfelt wird.

Jetzt muss man nur noch Ereignisse formulieren, die bei einem Würfelwurf mit Wahrscheinlichkeit 1/2, 1/3 bzw. 1/6 eintreten. Dann hat man die Spielregeln.

Die Matrix zu den von dir anegebenen Spielregeln wäre bei fünf Feldern

⅔	⅙	0	0	0
⅙	⅔	⅙	0	0
0	⅙	⅔	⅙	0
0	0	⅙	⅔	⅙
0	0	0	⅙	⅔

Dabei handelt es sich aber nicht mehr um einen stochastischen Prozess, weil eine Figur auf den Feldern 1 oder 5 mit einer Wahrscheinlichkeit von ⅙ aus dem Spiel verschwindet.