Stetigkeit und Unstetigkeit beweisen

Question

Für welche x∈R sind die folgenden Funktionen stetig bzw. nicht stetig. Was passiert mit den Funktionsgraphen an den Stellen, an denen die Funktionen nicht stetig sind.

f1(x)=(x^2-4)/(2-x)

f2(x)= (2x-3)/(3-4x)

f3(x)=cos(2/x^2)

f4(x)=(x^2-4)/|2-x|

Falls es möglich ist beim lösen eine Erklärung dazuschreiben.

Mein Ansatz für f1 ist:

Polstelle:2

Wir haben eine hebbare Unstetigkeit weil;2 v -2 als Nullstellen für den Zähler klappen.

Faktorisieter Bruch zum Überprüfen war (x-2)*(x+2)/(x-2) gekürzt: (x+2) also hat man beim Graphen bei der 2 eine hebbare Unstetigkeit oder?

Answer 1

Mein Ansatz für f1 ist:

Polstelle:2   besser:  Definitionslücke !

Wir haben eine hebbare Unstetigkeit weil;2 v -2 als Nullstellen für den Zähler klappen.

Faktorisieter Bruch zum Überprüfen war (x-2)*(x+2)/(x-2) gekürzt: (x+2) also hat man beim Graphen bei der 2 eine hebbare Unstetigkeit oder?     Ja, genau !     Der Graph hat dort eine Lücke.

f2(x)= (2x-3)/(3-4x)  überall stetig. Def. lücke bei x=3/4 ist eine Polstelle

f3(x)=cos(2/x²)  überall stetig.  Definitionslücke bei x=0 ist nicht stetig ergänzbar , weil f3(x) in

der Nähe von 0 immer stark zwischen -1 und 1 hin un d herschwankt.

f4(x)=(x²-4)/|2-x|     überall stetig. Definitionslücke als  Sprungstelle bei x=2 .

~plot~ (x^2 - 4)/abs(2-x);[[-5|5|-5|8]] ~plot~