Bei a) geht es noch einfacher: Die Funktion
f ist ein Quotient stetiger Funktionen, und der Nenner wird nie 0. Also ist
f stetig.
b) stimmt wie gesagt nicht.
f ist nur auf
R∖{0} differenzierbar (was man so ähnlich begründen kann wie in a)). Um die Differenzierbarkeit in x=0 zu überprüfen, benutzt du die Definition der Ableitung, d.h. den Differentialquotienten.
c) Verstehe nicht ganz, was du meinst. Der Nenner wird nirgends 0. Außerdem interessiert die Stelle x=1 hier gar nicht, man soll ja den Grenzwert für
x→±∞ berechnen.
Da kannst du erstmal die Funktion umformen: Für
x>0 ist
f(x)=1+x1−x, damit kannst du jetzt den Grenzwert für
x→∞ berechnen.
Genau so vereinfachst du die Funktion für
x<0 und kannst dann den Grenzwert für
x→−∞ berechnen.
d) stimmt wie gesagt auch nicht. Wenn du die Extremstellen berechnen willst, dann gehst du folgendermaßen vor: Wenn die Funktion an einer Stelle, an der sie differenzierbar ist, eine Extremstelle besitzt, dann ist dort die Ableitung 0. Damit kannst du schonmal überprüfen, ob die Funktion irgendwo auf
R∖{0} ein Extremum hat.
Bei
x=0 ist
f nicht differenzierbar, also muss diese Stelle noch gesondert überprüft werden.