Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Links - und Rechtsseitiger Grenzwert, Minimum und Maximum von f(x) = (1-|x|)/(1+|x|)

Question

Sei $$ f \left( x \right) = \frac { 1-|x| }{ 1+|x| } $$ mit ƒ: ℝ → ℝ.

a) Zeige ƒ ist auf ganz ℝ stetig.

b) Zeige ƒ ist für x ∈ ℝ differenzierbar.

c) Berechne $$\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ f\left( x \right)  }$$ und $$\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ f\left( x \right)  }$$ .

d) Begrünfe, dass ƒ in dem Intervall [-1, 1] ein Minimum und Maximum hat und bestimmte diese.

Comments

b) dürfte schwierig werden. Das stimmt nämlich gar nicht.
Hast du sonst irgendwelche Ansätze?

Und d) stimmt auch nicht.

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Ich vermute a) geht über die Betragsungleichung und  ε-δ-Beweis? Vielleicht auch über das Folgenkriterium, allerdings würde mir jetzt keine Folge einfallen, die ich nutzen könnte.

Bei b) habe ich keine Idee.

Bei c) denke ich, dass Linksseitig und Rechtsseitig hier meint, dass der Betrag ein mal positiv und ein mal negativ ist. Dann wäre eine kritische Stelle bei 1 für negativ, da hier der Nenner 0 wird.

Bei d) vermutlich prüfen ob ƒ'(-1) > 0 oder ƒ'(-1) < 0 und ob ƒ'(1) > 0 oder ƒ'(1) < 0. Aber wie bilde ich die Ableitung? Nehme ich dann an, dass |x| positiv als Betrag ist?

Das wären meine ersten Ideen dazu.

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Bei a) geht es noch einfacher: Die Funktion \(f\) ist ein Quotient stetiger Funktionen, und der Nenner wird nie 0. Also ist \(f\) stetig.
b) stimmt wie gesagt nicht. \(f\) ist nur auf \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) differenzierbar (was man so ähnlich begründen kann wie in a)). Um die Differenzierbarkeit in x=0 zu überprüfen, benutzt du die Definition der Ableitung, d.h. den Differentialquotienten.
c) Verstehe nicht ganz, was du meinst. Der Nenner wird nirgends 0. Außerdem interessiert die Stelle x=1 hier gar nicht, man soll ja den Grenzwert für \(x\to\pm\infty\) berechnen.
Da kannst du erstmal die Funktion umformen: Für \(x>0\) ist \(f(x)=\frac{1-x}{1+x}\), damit kannst du jetzt den Grenzwert für \(x\to\infty\) berechnen.
Genau so vereinfachst du die Funktion für \(x<0\) und kannst dann den Grenzwert für \(x\to -\infty\) berechnen.
d) stimmt wie gesagt auch nicht. Wenn du die Extremstellen berechnen willst, dann gehst du folgendermaßen vor: Wenn die Funktion an einer Stelle, an der sie differenzierbar ist, eine Extremstelle besitzt, dann ist dort die Ableitung 0. Damit kannst du schonmal überprüfen, ob die Funktion irgendwo auf \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) ein Extremum hat.
Bei \(x=0\) ist \(f\) nicht differenzierbar, also muss diese Stelle noch gesondert überprüft werden.

Answer 1

f ( x ) = ( 1 - | x | ) / ( 1 + | x | )

a.)
Für die Funktion gibt es keine Einschränkung des Def-Bereichs : ℝ
Division durch 0 kann auch nicht vorkommen.

b.) 1.Ableitung
für x <  0 : f ´ ( x ) = - 2 / ( 1 + x )^2
für x >  0 : f ´ ( x ) = +2 / ( 1 + x )^2

lim x −> 0(-)  [  - 2 / ( 1 + x )^2 ] = -2
lim x −> 0(+)  [  + 2 / ( 1 + x )^2 ] = +2
Die erste Ableitung mach bei x = 0 einen Sprung.
Die Funktion ist nicht differenzierbar.

c.)
x gegen ∞  = - ∞ / + ∞ = - 1
x gegen -∞  = - ∞ / + ∞ = -1

d.) vielleicht später.

mfg Georg

Comments

Die erste Ableitung mach bei x = 0 einen Sprung.
Die Funktion ist nicht differenzierbar.

Der erste Satz sagt, dass dass die Ableitung nicht stetig an x = 0 ist.
Warum sollte deswegen die Funktion dort nicht differenzierbar sein?

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@Fragesteller
d) Begründe, dass ƒ in dem Intervall [-1, 1] ein Minimum und
Maximum hat und bestimmte diese.

Für beide Ableitungen gilt : sie können nicht 0 werden.
Deshalb gibt es auch keinen Extrempunkt.
Vorhanden ist ein Rand - Maximum oder - Minimum bei
x = 0   von y =1.

Hier der Graph der Funktion

Und, nach Ansicht der Skizze, auch in Minimum bei
x = -1 und x = 1 von y = 0

mfg Georg

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Das Maximum bei x=0 nennt man nicht Randextremum. Das ist ein ganz normales Extremum (es liegt ja nicht am Rand des Definitionsbereichs).
Bei -1 und 1 hat \(f\) kein Minimum. Das sind höchstens Minimalstellen von \(f|_{[-1,1]}: [-1,1]\to\mathbb{R}\), also der Einschränkung der Funktion \(f\) auf das Intervall \([-1,1]\).
Insofern war die Aufgabe falsch gestellt, denn da war eindeutig von Minima bzw. Maxima von \(f\) die Rede.

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@nick
Das Maximum bei x=0 nennt man nicht Randextremum.
Das stimmt. Ich war immer noch bei der Aufteilung der 1.Ableitung
in linke und rechte Seite und hatte x = 0 noch als Rand im Kopf.

In deiner 2.Bemerkung kann ich dir nicht zustimmen.
" denn da war eindeutig von Minima bzw. Maxima von f die Rede. "
aber auch
Begründe, dass ƒ in dem Intervall [-1, 1] ein Minimum und Maximum hat

Also Randminima an den Intervallgrenzen und 1 Maximum bei x = 0.

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Für mich klingt das eher so: Nimm alle Minimalstellen von f und zeige, dass eine davon im Intervall [-1,1] liegt.
Und -1 ist nunmal keine Minimalstelle von f. Genau so wie 1.
Wenn man den Definitionsbereich ändert zu [-1,1], dann würde es stimmen.

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Auch akzeptiert.
Also nur ein Maximum.
Dann ist die Fragestellung fehlerhaft.

@Fragesteller
Ich hoffe deine Fragen wurden in den Diskussionsbeträgen
beantwortet.
Ansonsten : bei Fragen wieder melden.

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Meine Rückmeldung kommt etwas spät, aber ja, es hatte mir geholfen. Dankeschön!

Answer 2

zu c)

$$\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ f(x) } =\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ f(x) } $$

$$\lim _{ x\rightarrow + \infty  }{ f(x) } =\frac { 1-\left| x \right|  }{ 1+\left| x \right|  } =-1$$

zu d)

Die Funktion hat genau ein Maximum, nämlich bei x=0. Sollte es nicht eher heißen: "...ein Minimum oder Maximum hat..."

Die Ableitung findest du mit der Quotientenregel unter Berücksichtigung:

$$\frac { d }{ dx } (\left| x \right| )=\frac { x }{ \left| x \right|  } $$

Gruß
EmNero