Abbildungsraum (R, R) Dimension Satz Beweis

Question

Fur i ∈ ℕ = {0, 1, 2, . . . } sei f_i ∈ Abb(ℝ, ℝ) die Abbildung f_i : ℝ → ℝ, x ↦ xⁱ.

Für n ∈ ℕ setzen wir V_n := <f₀, . . . , f_n>.

Zeigen Sie, dass dim V_n = n + 1 gilt. 

Wie geh ich an die Sache ran?

Comments

Zeigen, dass \(f_0,\ldots,f_n\) linear unabhaengig sind, waere eine gute Idee.

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Angenommen V_n ist linear unabhängig, ich versteh bloß nicht wie das "+1" da hinkommt

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\(V_n\) ist nicht linear unabhaengig, \(V_n\) ist der Vektorraum, um den es geht. Und die Dimension bestimmt man, indem man die Elemente einer Basis von \(V_n\) abzaehlt. Was hast Du abgezaehlt?

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Huch ja sorry. Dimension von V_n natürlich.

<f₀, . . . , f_n> ist dann unabhängig wenn sich die Nullabbildung nur dann als Linearkombination erzeugen lässt wenn alle Koeffizienten λ₀,..λ_n =0. 

Okay so weit so gut aber wenn  ∑λ_i f_i =0 ist dann ist dim V_n = n oder nicht? Ich hab mich noch nie mit Abbildungsräumen befasst, vielleicht übersehe ich etwas wichtiges :(

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\(\langle f_0,\ldots,f_n\rangle\) ist der Spann (das Erzeugnis, die lineare Huelle, die Menge aller Linearkombinationen, ...) der Vektoren \(f_0,\ldots,f_n\). Das soll \(V_n\) sein. Bestimme erstmal eine Basis von \(V_n\). Das mit dem Zaehlen kannst Du hinterher noch richtig machen.

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Das ist in der Aufgabenstellung ja gar nicht definiert. Ich hab ja keine konkreten Angaben die mir helfen könnten eine Basis von V_n zu konstruieren. Mir ist aufgefallen, dass <f₀, . . . , f_n> das Element mit Laufindex "0" beinhaltet, kann es daran liegen das dim V_n = n+1 gilt?

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Ich hab Dir gesagt, was es mit den spitzen Klammern auf sich hat. Und da es in der Aufgabe nicht erklaert wird, ist es bekannt. Ein Erzeugendensystem von \(V_n\) ist damit gegeben.