Basis eines Polynoms

Question

Zeigen Sie, dass auch die Polynome ((x − 1)^n )n∈N0 eine Basis bilden.

Ich bin so weit, dass ich zwei Bedingungen nachweisen muss:
1. Es handelt sich um ein Erzeugendessystem
2. Die Lineare unabhängigkeit.

Jetzt ist die Frage wie ich die beiden Bedingungen beweise.

Comments

> dass auch die Polynome ((x − 1)ⁿ )n∈N0 eine Basis bilden.

Basis von was?

> Basis eines Polynoms

Ein Polynom hat keine Basis. Ein Vektorraum hat eine Basis.

Answer 1

Es geht wohl um den VR der Polynome vom Grad ≤ n.

Statt zu zeigen

1. Es handelt sich um ein Erzeugendenssystem
2. Die Lineare Unabhängigkeit.

kannst du auch argumentieren:

Die Anzahl ist gleich der Dimension ( denn das "auch" in der Aufgabe deutet

ja wohl an, dass du schon eine andere Basis und damit die Dimension kennst.)

Und die lineare Unabhängigkeit beweist du leicht mit dem Ansatz:

Σ i=0 bis n über   a_i * (x-1)ⁱ = 0

wird durch z=x-1 substituiert zu

Σ i=0 bis n über   a_i * zⁱ = 0 .

Hier folgt a_i = 0 für alle i., also sind die  (x-1)ⁱ

lin. unabh.