Basis des Vektorraumes des Polynoms Grad <= 2

Question

Aufgabe:

Basis des Vektorraumes des Polynoms Grad <= 2

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe wurde schonmal gestellt: https://www.mathelounge.de/426084/vektorraum-polynome-lineare-algebra-aufgabe-ansatz-losung

"Es sei V der reelle Vektorraum der Polynome von Grad ≤ 2. Für α,β ∈ ℝ seien

Wα = {f ∈ V | f(α) = 0 }  und Dβ = {f ∈  V | f ' (ß) = 0 },

wobei f ' die Ableitung von f sei.

a) Geben Sie die Basen von Wα, Dβ  und Wα ∩ Dβ an.

Mein Ansatz bzw. Lösung (durch Hilfe erhalten) :

c0 + c1X + c2X² ∈ V liegt in Wα, falls c0 + c0α + c1α + c2α² = 0.

LGS bereits in Gauß-Normalform, folgt mit dem (-1)-Trick die Menge {X - α, X² - α²} als Basis des Lösungraums, also Basis von Wα.

Bei Dβ  und Wα ∩ Dβ geht man ähnlich vor. Meine Frage: Wie kommt man auf diese Lösung? Ich habe die Vorgehensweise nicht ganz nachvollziehen können, wäre sehr nett, wenn man mir einfach die Vorgehensweise beim Lösen der Aufgabe erläutert. Woher kommt z.B. die Gleichung c0 + c0α + c1α + c2α² = 0 ?"

Die Antwort die dort gegeben wurde ist für mich aber immernoch nicht verständlich, weshalb ich die Frage erneut stellen wollte

Comments

Deine Frage nach der Gleichung ist mir schwer verständlich.

Wenn \(f=c_0+c_1X+c_2X^2\) die allgemeine Form eines Polynoms vom Höchstgrad 2 ist, dann führt die Bedingung \(f \in W_{\alpha}\), also \(f(\alpha)=0\) doch offensichtlich zu

$$f(\alpha)=c_0 +c_1 \alpha +c_2 \alpha^2=0 $$

Oder?

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Ah, genau. Ich hab die Fragestellung des Links kopiert. Ich stimme dir bei der Aussage zu

Answer 1

Hallo

dass man Polynome ax^2+bx+c auch als a'(x - α)^2 +b'(x-α)+c' schreiben kann ist dir klar?  sonst machs doch einfach mal z.B. mit p=2x^2+3x+1 und suche für α=1 a'b',c'

p(x)= a'(x - α)^2 +b'(x-α)  sagt dann ich kann alle Polynome mit p(α)=0 als Linearkombination von (x-α)^2 und x-α darstellen  (nicht x^2-α^2 wie in deinem post)

jetzt  p'(x)=2ax+b    p'(α)=0  also 2aα+b=0    also wieder a'(x-α)+b'=0  folgt b'=0  p=2a'(x-α)  also Basis x-α

Ist der Rest dann klar?

lul

Comments

Also das mit dem Umschreiben habe ich jetzt verstanden. Die Sache ist nun, dass bei der Musterlösung andere Basen angegeben sind.

Wα := {X - α, X² - α²}
Dβ := {1, X² - 2βX}

Außerdem weiß ich nicht genau, warum du c' ausgelassen hast, da ich a'=2, b'=7 und c'=6 rausbekomme

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Hallo

aus der Basis b1=x-a und b2=(x-a)^2 kann man Wa erzeugen aber Wa ist ja auch für die 2 linear unabhängigen x-a und x^2-a^2 erfüllt, also ist das einfach eine andere Basis, .

2. mit Dβ mein Fehler ich hatte gleich den Schnitt  von Wa und Da genommen.

also es miss ja für Dβ nicht p(β)=0 nur p'(β)=0

also p(x)= ax^2+bx+c, p'(β)=2aβ+b=0 also b=-2a/β

für p=1 ist p'=0 also in Dβ also b1=1   und ax^2-2a/βx=a(x^2-2/β x) ein weiterer Basisvektor.

Gruß lul

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Dankeschön^^