Basis eines Vektorraumes der Polynome vom Grad =< 3 bestimmen

Question

Aufgabe:Basis von Polynomen bestimmen

Problem/Ansatz:Gegeben sind 2 Polynome 1 + T + T^2 und 2 + T + T^2  im Vektorraum der Polynome Grad <= 3 Gesucht ist einen Basis. Es fehlt T^3 das ist klar, aber in der Musterlösung steht, dass wir keine Polynome vom Grad 1 linear kombinieren also brauchen wir noch T.

Das ist mir nicht schlüssig, kann mir das jemand bitte erklären ?

Answer 1

Mit T^3 und den beiden gegebenen kannst du keine Linearkombination

für das Polynom T bilden; Denn dann müsste

es a,b,c geben mit

a*( 1 + T + T^2 ) + b*( 2 + T + T^2 ) + c*T^3 = T

Sofort klar ist c=0 und der Rest liefert

(a+2b) + (a+b-1)*T + (a+b)*T^2 = 0

==>  a+2b=0  und   a+b-1=0   und  a+b=0

==>      b=0    und    -1=0

Also gibt es keine Lösung; deshalb muss das T mit in die Basis.