Was genau steht im Widerspruch zum Asutauschsatz?

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen, ich versuche mich gerade an den Beweis/ Erklärung:

Die Dimension eine Vektorraums entspricht der Kardinalität seiner Basen.

Vor: V KVR und B und M sind zwei Basen von V

Behpt: B endlich ⇒ M endlich und dimB=dimM

Bew: Sei B endlich. Angenommen M ist unendlich. So nehmen wir eine |B|+1 elementige Teilmenge W aus M. Folglich ist W als Teilmenge der linear unabhängigen Menge M auch linear unabhängig. Dies steht aber im Wiederspruch zum Austauschsatz von Steinitz.

Ab hier verstehe ich die Argumentation nicht. Was genau steht im Widerspruch zum Asutauschsatz?

Den Austauschsatz habe ich eigentlich verstanden, nur diese Argumentation nicht.

Ich hoffe mir kann jemand helfen, da ich in ein paar Tage eine Prüfung habe.

Vielen Dank!

Answer 1

Der Austauschsatz ist ja vermutlich so formuliert:

In jeder endlichen Basis (v1,...,vn) kann man zu jedem v≠0

ein Element vi finden, so dass beim Ersetzen von vi

durch v wieder eine Basis entsteht.

Dann kann aber (v1,...,vn,v )   [wie es in deinem Beweis

entsteht ] nicht linear unabhängig sein; denn nach dem Austausch

wäre das v 2 mal in der Basis vertreten, das System

also nicht lin. unabh.

Comments

Dankeschön!

Aber wo steht in meinem Beweis, wie du schreibst: ,,Dann kann aber (v1,...,vn,v )  [wie es in deinem Beweis entsteht ] nicht linear unabhängig sein“

An welchem Punkt im Beweis entsteht das und wie genau? Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch…

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So nehmen wir eine |B|+1 elementige Teilmenge W aus M.

Da kannst du die ersten |B| Stück austauschen mit den Elementen

von B und hast dann eben so ein v übrig.

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Oh vielen Dank, sehr hilfreich!