Welchen Widerspruch kann man bei Addition im 4-elementigen endlichen Körper finden?

Question

Es ist bekannt, wie die richtige Tafel für die Addition im 4-elementigen endlichen Körper aussieht... Allerdings wird ein Widerspruch für eine andere "Möglichkeit" gesucht, nämlich für:

Setze: 1=1,

1+1= a ;

1+1+1 = b ;

1+1+1+1=0 .

=> a+1=1+1+1 =b

=> a +a = b +1 =1+1+1+1= 0

=> a+b = 1+1+1+1+1= a +a+1= 0 + 1 = 1

=> b+b= b+a+1= 1+1=a

Es hat sich daraus folgende Tafel für die Addition ergeben:

01ab

1ab0

ab01

b01a,

wobei offensichtlich, dass:

-(a invers zu a ist) ;

- (b invers zu 1 bzw. 1 invers zu b).

Das Letzte scheint nicht unmöglich, da bei der Addition an die 1 keine besondere Bedingungen laut der Definition eines Körpers gestellt werden.

Aber da bekannt, dass diese "Möglichkeit" für die Tafel dieses Körpers falsch ist, muss es einen Widerspruch geben... Nur welchen?!

LG,

ein Nutzer

Answer 1

Mit deinem Definitionen ist $$ a^2=(1+1)(1+1)=1+1+1+1=0$$ nach dem Distributivgesetz. Da Körper nullteilerfrei sind muss a=0 gelten. Daher ist deine Setzung durchaus richtig und widerspruchsfrei, nur halt auch langweilig. Woher "bekannt" sein soll, dass diese Setzung falsch ist entzieht sich meiner Kenntnis, außer du hast die Voraussetzung $$a \neq 0$$ irgendwo im Text versteckt wo ich sie nicht finde.