Widerspruchsbeweis bei folgender Aussage? ∀x aus R : |x − 4| < 1 ⇒ x < 5

Question

Wie beweist man folgende Aussage mit dem Widerspruchsbeweis?

∀x aus R : |x − 4| < 1 ⇒ x < 5

und wie würde es mit der Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen von x − 4 gehen?

Answer 1

|x − 4| < 1

Fall 1: x − 4 >= 0 --> x >= 4

x − 4 < 1

x < 5 --> 4 <= x < 5

Fall 2: x − 4 <= 0 --> x <= 4

-(x − 4) < 1

-x + 4 < 1

-x < -3

x > 3 --> 3 < x <= 4

Lösungsmenge

3 < x < 5

Damit ist die Aussage ∀x aus R : |x − 4| < 1 ⇒ x < 5 wahr.