Untersuchen Sie, ob folgende Grenzwerte existieren und bestimmen Sie diese gegebenenfalls.

Question

Ich weiß, wie ich diese Aufgabe zu lösen habe, wenn ich den Satz von l'Hopital verwenden dürfte, da dieser in den Vorlesungen aber noch nicht eingeführt wurde darf ich diesen auch nicht verwenden. Allerdings weiß ich nicht wie ich diese Aufgabe sonst lösen kann. Kann mir irgendjemand helfen die Aufgabe zu lösen?

Vielen Dank schon einmal im voraus.

LG

Comments

Hattet ihr denn sowas wie    sin(x) / x geht gegen 1 ?

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Das müssten wir schon gehabt haben, ja. Aber wie kann ich das für mich nutzen? Da steht ja bei der (i) zum Beispiel sin(2x)...

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Wenn sin(x)/x gegen 1 geht, dann geht offenbar auch sin(2x)/2x gegen 1 ...

Answer 1

zu iii)

nutze, dass cos(x)-1=-2sin^2(x/2) !

Einsetzen gibt dann

$$ \lim_{x\to 0} -\frac{sin^2(x/2)}{x^2} $$

Substituiere nun x/2 = z und erhalte

$$ \lim_{z\to 0} -\frac{2sin^2(z)}{4z^2}\\=-1/2 $$

Comments

Wie komme ich nach der Substitution auf das Ergebnis? Der Schritt ist mir gerade nicht ganz klar ^^

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Wir haben x/2 =z gesetzt, daher wird im Sinus das x/2 zu z. Formt man x/2=z zu

x=2z um, bekommt man im Nenner (2z)^2=4z^2

Nun haben wir anstatt x nur noch z in der Gleichung. Zu beachten ist, gegen was das z nun strebt. Da x gegen 0 strebt , strebt auch z gegen 0, denn 0/2=0.

Also bekommt man das Ergebnis oben

lim z ---> 0 -2sin^2(z)/(4z^2)

= -1/2 * lim z---> 0 sin^2(z)/z^2

=-1/2 *( lim z---> 0 sin(z)/z)^2

=-1/2 *1^2=-1/2

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Jetzt hab ichs, vielen Dank. Ich schätze mal das die anderen analog funktionieren, also das ich bei der (iv) dann genau das aus der (iii) verwenden kann.

Answer 2

mit   sin(x) / x geht gegen 1     kannst du aus

(  sin(2x) * sin(3x )   ) /     x²   machen

= 6 *   (  sin(2x) * sin(3x )   ) /    ( 2x * 3x )

= 6 * (  sin(2x) / 2x )  *  ( sin(3x) / 3x )

Und die beiden Brüche gehen gegen 1, also

das Ganze gegen 6.

Answer 3

Wenn Du die Taylorenwticklung von sin(x) nimmst, siehst du es, oder?